QUATRIEME PARTIE. — CHAPITRE IV. ao

suppose --^ = o, on trouve

i dp / dff d*ff d(f d^(f

p fitr \dx dx^ dy dxdy

dff d^ff \ dz dxdz)

I dp / dtf d^(f dff d^ff d^ d^(^ \

p djr \dx dxdjr dy dy"^ dz dydz)

I dp /<i<p d^^ d(f d^(f d<fd^ff\

p dz \dx dxdz dy dydz dz dz^ j

OU bien

>— i4(â)"-(iy-(s)']-

En nous plaçant alors dans les circonstances où nous venons de nous placer tout à Theure, et intégrant depuis z = h jusqu'à z = o, on a

Cette équation est identique avec la formule (i), et conduit comme elle au théorème de Torricelli.

Ce fait s'explique jusqu'à un certain point en observant qu'efieclivement //, i', iv sont sensiblement constants, et que, par suite, udx + i^dy -i-wdz est à peu près la différentielle de i/x -+- i^-f- wz.

Vin. — Étude expérimentale de l'écoulement

DES liquides (*).

303. Théorème de Torricelli. — Torricelli a fait connaître son théorème comme un fait expérimental dans son Traité : De motu naturaliter accelerato en i643 :

(*) Consulter la Mécanique analytique de Lagrange, IP Partie, lo^ Section, page 243 de la 3^ édition, et la Mécanique appliquée de M. Bresse, t. II.

206 TRAITÉ DE MÉGAHIQUE EÀTIONNELLE.

La vitesse avec laquelle un liquide s^ écoule par un orifice pratiqué à la partie inférieure du vase qui le contient est la même que celle d^un point pesant qui^ tombant de la surface libre du liquide^ serait parvenu au centre de gravité de V orifice.

Nous avons vu à la suite de quelles hypothèses les théories de l'Hydrodynamique conduisaient à ce théorème.

Veine liquide. — Le liquide qui s'écoule par un orifice pratiqué dans la paroi du vase qui le contient afTecte la forme d'une lige de cristal limpide dans le voisinage de l'orifice; plus loin, cette tige se trouble et se divise bientôt en gouttes. On donne le nom de veine au jet liquide dont nous venons de décrire sommairement la forme.

Voyons quelle doit être la forme théorique de la veine. Supposons que l'orifice {fig* 4^^) P^ir lequel s'écoule le

Fig. 42.

liquide soit circulaire 5 soient w sa surface, V© la vitesse du liquide à la sortie 5 prenons le centre de l'orifice pour origine, l'axe des x horizontal et l'axe des z vertical; soit h la distance supposée constante du niveau supérieur du liquide à l'orifice.

QUÀTAIÈMB PARTIE. CHAPITRB IV. aOJ?

Soient maintenant une section horizontale faite dans la veine*, x le rayon de cette section, que nous supposerons circulaire, conformément à l'expérience; z sa distance à l'orifice. Si Ton désigne par V la vitesse du liquide dans la section en question, on aura

mais on aura aussi, tant qne la veine sera continue,

En éliminant Y entre les deux équations qui précèdent, on a

ou bien

^gir^x*

Telle est l'équation du méridien de la surface de révolution qui limite la veine. En discutant cette équation, on constate que la veine se contracte en sortant de l'orifice, et se contracte indéfiniment. L'expérience prouve, • en effet, que la veine commence par se contracter; mais, bientôt après, elle se renfle. Ce désaccord entre l'expérience et la théorie montre que nous n'avons pas le droit de supposer les vitesses des molécules égales dans une même tranche horizontale, et, effectivement, le frottement du liquide contre les parois de l'orifice doit ralentir le mouvement des molécules placées à la surface de la veine. De plus, les filets liquides se recourbent dans le voisinage de l'orifice et tendent à s'écarter du filet moyen .

Inversion de la veine. — Cette tendance centrifuge des filets se trouve mise en évidence par l'expérience suivante. Si l'on pratique à la partie inférieure d'un vase plein d'eau un orifice carré, la section de la veine,

flo8 TRAITÉ DE MÉCANIQUE RATION NELI^E.

d'abord carrée, se tronque vers ses angles en se contractant, aiTecte bientôt une forme octogonale à peu près régulière, se dilate ensuite de manière à prendre de nouveau la forme d'un carré dont les diagonales sont parallèles aux côtés de l'orifice.

Vérification expérimenta.le du théorème de Torri- GELLi. — Première méthode, — En pratiquant une ouverture dans une paroi verticale, on peut disposer des anneaux de telle sorte qu^ils soient traversés par la veine liquide^ ces anneaux seront fixés à des tiges scellées dans un mur vertical. On reconnaîtra alors que la veine affecte une forme sensiblement parabolique; de la forme de cette parabole, considérée comme trajectoire d'un point pesant, on pourra déduire la vitesse du liquide à la sortie du vase. En procédant ainsi, on reconnaîtra que la vitesse est donnée par la formule

Ce résultat, comme on le voit, est à peu près d'accord avec la théorie, ce qui semble prouver que T hypothèse du parallélisme des tranches est admissible pour la portion de liquide comprise à l'intérieur du vase et dans l'axe de la veine.

Deuxihm^e méthode, — On peut mesurer la dépense^ c'est-à-dire la quantité de liquide qui s'écoule pendant une seconde par un orifice de surface o). En désignant cette quantité par Q et par V la vitesse du liquide à la sortie, on a évidemment

Qdt = 6àYdty d'où l'on tire

Pour calculer Q, on laissera couler le liquide pendant