VII. — Théorème de D. Bernould

302. Puisque nous ne pouvons déduire aucune conséquence des équations générales de l'Hydrodynamique, nous allons avoir recours à l'expérience, interroger les. faits et essayer d'en tirer des formules empiriques.

202 TflATTÉ DE HÉGANIQUE RÀTIOHKELLB.

Dans la plupart des cas qui intéressent la pratique, les fluides ont un mouvement régulier dans lequel les vitesses des molécules ne dépendent que de leurs coordonnées, en sorte que les quantités u, Vy w du paragraphe précédent sont constantes en un même point de l'espace. On dit alors que le liquide est soumis à un régime permarient.

Considérons un liquide pesant soumis à un régime permanent. Soit MN {^g' 4^) un filet infiniment mince pris

Fig. 4i.

dans la masse, donnons un petit mouvement à ce filet, et soit M'N' la position qu'il a prise au bout du temps df. Soient po la pression qui s'exerce en M, p celle qui s'exerce en N, V© la vitesse en M, V la vitesse en N, «o et (ù les sections M et N du filet, MM' sera égal à V^^ dt et NN' à Ydt. Le liquide étant incompressible, les volumes MM' et NN' seront égaux; on aura donc

û),Vo*=«Vfl?r.

dQ

Si l'on pose alors dQ = tùYdtj la quantité -^ représentera ce que l'on peut appeler le débit par seconde ; il est mesuré par le produit Ytù, Ceci posé, appliquons le tbéorème des forces vives, nous pouvons admettre que les pressions latérales se détruisent : les forces extérieures au filet se réduisent alors aux pressions p^, p, et à la pesanteur. Le travail de po est p^tù^Y^dt ou podQ^ celui de p est — ptùSfdt ou — pdQ-^ le travail de la pesanteur est égal k la quantité dont s'est déplacé verticalement le centre de gravité du filet, multipliée par

QUATRIÈME PÀ1IT1E. CHAPITRE IT. 2to3

]e poids total du filet. Ce travail ne sera pas changé si Ton transporte la partie MM' en NN', en laissant immobile la partie de fluide M^N. Or, dans ce dernier cas, le travail de la pesanteur se réduit ti

gptaWdt.h ou gpàdQy

p désignant la masse spécifique du liquide, et h la distance verticale qui sépare les tranches M et N.

La force vive initiale et la force vive finale auront une partie commune, à savoir : la force vive de toutes les molécules qui ne sont pas sorties de l'espace M'N, puisque, par hypothèse, le régime est permanent. La variation de la force vive se réduira donc à

ou bien à

ya y2

L'équation des forces vives devient ainsi

ya — V'

—pdq -f. p.dq + gphdq = dq 1 »

ou bien

C'est dans cette équation que consiste le théorème de BernouUi.On pourrait peut-être objecter, à la démonstration que Ton vient de lire, que les pressions latérales ne doivent pas être négligées, parce que ces pressions ne sont pas tout à fait normales au filet liquide ; mais si le mouvement n'est pas trop rapide, l'hypothèse que nous venons de faire s'écartera fort peu de la vérité.

Pour faire une application du théorème de D. Bernoulli, considérons un vase plein d'eau; pratiquons une

ouverture à la partie inférieure de ce vase, et calculons la vitesse d^écoulement. Si nous admettons que le liquide se meut par tranches parallèles, on pourra décomposer la masse totale du liquide en filets pour chacun desquels on pourra écrire une équation telle que (i), en sorte que si Ton suppose l'orifice assez petit pour que l'on puisse négliger les variations de h par rapport à A, ou bien encore si Forifice est pratiqué dans une paroi horizontale, la vitesse V du liquide à la sortie pourra être donnée par la formule (i), d'où Ton tire

Si Ton suppose que les pressions p^ et p soient les pressions atmosphériques , on aura à peu près po = P 9 en outre, si le vase est assez large, on aura à peu près Yq = o, et, par suite,

Cette équation montre que :

Théorème de Torrigelli. — La vitesse avec laquelle un liquide s^ écoule par un orifice assez mince pratiqué à la partie inférieure d^un vase est la même que si le liquide tombait de la surface libre de ce liquide.

Nous verrons tout à l'heure comment l'expérience vérifie le théorème de Torricelli. Mais, auparavant, nous allons voir à la suite de quelles hypothèses les équations de THydrodynamique conduisent au résultat que nous venons d'obtenir.

Si l'on reprend les équations (2), (3), (5) du paragraphe précédent, si l'on suppose que k, v^ w soient tels, que udx + t^djy -f- %yd z soit une différentielle exacte df^ \ si, en outre, on fait X=o, Y=o, Z=o, et si Ton