X. ÉTUnE DU MOUVEMENT RELATIF

304. Les équations de rhydro«tatique suffisent quel* quefois pour résoudre les équations relatives au mouvement des liquides : c'est ce qui a lieu lorsque les liquides sont en équilibre relatif par rapport à des axes mobiles.

Proposons-nous, par exemple, de trouver la forme d'équilibre relatif de la surface d'un fluide pesant, animé d'un mouvement de rotation autour d'un axe vertical.

Prenons l'axe de rotation pour axe des z, et deux axes horizontaux perpendiculaires entre eux pour axes des^ IL 14

aïO THAITÉ DE MÉCANIQUE RATIONNELLE.

et des X ; écrivons qu'il y a équilibre entre les forces réellement agissantes et les forces fictives dues au mouvement relatif (243) .

Les forces réellement agissantes pour une molécule m se réduisent à la pesanteur mg. Les forces fictives sont : 1° la force d'inertie du mouvement d'entraînement 5 cette force est la force centrifuge 5 en désignant par c«) la vitesse angulaire, les composantes de la force centrifuge sont m(ù*x et mtù^y)^^ la force centrifuge composée dont les composantes sont nulles. En effet, si, dans l'expression de cette force (243), on remplace la vitesse relative par zéro, elle se réduit elle-même à zéro.

La force appliquée à l'unité de masse a donc pour composantes : w'x, w'^, — g] par suite l'équation des surfaces de niveau (294) est

o = — gdz -f- w^ {xdx -^ y'dy) y

d'où l'on tire

coûst. ■=: — gz -^ w' (x' -^y^].

Cette équation est en particulier Féquation de la surface libre du liquide. Cette surface est, comme l'on voit, un paraboloïde de révolution. Pour déterminer la constaute C, on se donnera le volume V du liquide.

Supposons 9 par exemple, que le liquide soit renfermé dans un vase cylindrique dont l'axe soit l'axe de résolution, et dont le rayon soit B ; le volume du liquide, évalué en coordonnées semi-polaires, sera

J (»V — const.)

rd^dr aw / R^ const. R^

en égalant cette expression à Y, on en déduit

const. R*

Q13ATRIÈME PAKTIE. — CHAPITRE IV. 211

-d'où

consl. =

jpar suite, réquation de la surface libre sera

Pour (0 = 0, on trouve z = — ^r c'esl-à-dire que la

surface libre est plane.

EXERCICES

I. Trouver le centre de pression d'un cercle ou d'une ellipse; •discuter les divers cas qui peuvent se présenter.

II. Le centre de gravité d'une aire plane continue plongée dans un liquide est donné. Par quelle ligne faut-il terminer cette aire pour que la pression totale du liquide soit un minimum?

III. Une membrane infiniment mince, de forme rectangulaire, lorsqu'elle est tendue, sert de fond à un vase, de telle sorte que deux des côtés du rectangle soient horizontaux. On demande la forme affectée par cette membrane lorsque l'on remplit le vase avec un liquide pesant. On suppose, bien entendu, que le fond du vase puisse glisser le long des parois latérales. (On cherchera seulement l'équation différentielle du premier ordre de la courbe affectée par une section verticale.)

IV. Un ellipsoïde dont la densité est $ est plongé dans un liquide pesant dont la densité est/?; déterminer les positions d'équilibre de cet ellipsoïde en supposant ^ </?.

y. Un cône droit est plongé dans un liquide pesant; la densité du -cône dans une même couche perpendiculaire à l'axe est constante, mais elle varie d'une couche à une autre proportionnellement à la distance au sommet du cône. De combien le cône s'enfoncera- t-il •dans le liquide?

VI. Calculer le temps employé par un vase conique plein d'eau pour se vider par un orifice horizontal de dimensions données pratiqué près du sommet.

Qra TRAITÉ DB MÉGÀNIQITE RlTIOMNELLE.

VIL Un tube de Mariotlo contient dans la branche fermée un gaz. parfait dont le poids est p. Dans la grande branche, on verse une quantité de mercure telle, que la dififérence de niveau dans les doux branches soit h. On demande de calculer le volume du gaz enfermé dans la petite branche du tube. On admettra que le mercure se comprime de quantités proportionnelles à la pression qu'il supporte.

Vin. Un liquide enfermé dans un vase qui tourne uniformément autour d'un axe est sollicité par un centre fixe en raison inverse du carré de la distance ; trouver la forme des surfaces de niveau dang* la position d'équilibre reliitif.

- iw m t— —

QUATRIÈME PAKTIE. — CHAPITRE V. 2l3