I. — Équations des petits mouvements

305. On appelle petits moui^ements d^un système les mouvements dans lesquels les diverses molécules prennent des déplacements autour de leurs positions d'équilibre, assez petits pour que Ton puisse négliger dans les calculs leurs puissances et leurs produits.

Lorsque le travail des forces est une différentielle exacte et que les liaisons sont indépendantes du temps, Lagrange a fait connaître, dans sa Mécanique analytique, une méthode qui permet, dans un très-grand nombre de cas, de mettre les équations des petits mouvements soub une forme linéaire.

Si l'on désigne par m la masse, par x, j', z les coor- •données d'un point quelconque du système, et par U la fonction des forces, on aura

Désignons par ^i, </s, • • . les variables qui, satisfaisant aux équations de liaison, déterminent la position d'équi*-

libre du corps. Soient <7i-l-Xi) <7t~i-X«»* • ' ^^ ^^® ^®" -viennent </i, ^t> • • • pendant le mouvement. En dévelop»

ai4 TRAITÉ DE MÉGANIQUE RATIONNELLE.

pant x^j^ z par la formule de Taylor, on trouve

3 = Zp -+- c, Xi -4- CaXa -+- . . . ,

^19 ^29* • "i ^1) ^21* • • déslguant des quantités indépendantes de ^1, Xîî'»" D'après la défini lion que nousavons donnée des petits mouvements, nous négligeons les termes du second ordre \ on tire des équations précédentes

$X = b, ^x» -+- ^2 ^Xa

et en outre

On aura donc

éLà \di'' dt^ -^ dt' J

"^ A,,2 -^- -h A,,3 —J— + . . . dXi

t/f2 ' dt^ ' ûfr.

Dans cette formule, on a fait, pour abréger,

(3) Al = 2m{ai-{- bl + cl), Aij-=lm [aiaj-i-bi bj-k- CiCj).

Si Ton développe U par la formule de Taylor, les termes du premier ordre seront nuls; car, JU étant nul dans la