QUATRIÈME PARTIE. CHAPITRE V. a3l

les points matériels considérés soient les centres d^action des molécules de ce corps, la force y* (r) sera sensiblement nulle dès que r aura des valeurs un peu considérables. Il faudra alors admettre que ^mf(r)ix^ 2/w/(r)^, l^mf{r)$z sont nuls^ car, dans la somme ^m/'(r)dx^ la quantité m$x prend des valeurs égales et de signes contraires ou à fort peu de chose près, et lorsque la molécule m est assez éloignée de m^ pour ne plus avoir sa symétrique dans le corps, f(r) est sensiblement nulle. Une raison analogue à celle que nous venons de donner montre que les termes tels que ^mj*[r)$xâj',. . . sont nuls, en sorte que, si Ton se borne aux termes du second ordre dans les développements de 5^, âj^ J^, et si Ton pose

lm'^^Sx*=A',

ilm^^^S'rS'z = A.", r

les formules (4) se réduiront à

dxdf dxdz

Si Ton admet que le système soit constitué de la même manière en tous sens, il faudra admettre que A = B=C, que A'=B'=C', et que A''=B''=e'5 c'est le cas ordinaire des milieux non cristallisés. Dans ce cas, les formules précédentes se simplifient et donnent

Enfin ces formules se simplifient encore si l'on observe qu'elles ne doivent point changer de forme quand on fait tourner les axes autour de l'origine des coordonnées, Sx^ 5y, Sz étant considérées comme des coordonnées prises par rapport à trois axes rectangulaires passant en mo- Posons

§x =z Sx' cosy — fy' smtf,

$f z=z $x' sinç + Sx' cosç.

On en tire

Sx*= Sx'* cos^f — ^Sx^^Sy cos*y siny H- 6^:c'*^y *cos'f sin*y

— 4^-^'^/'*sin'y cosf -4- Sx'* sin*f.

En multipliant par m, en sommant et en ayant égard aux équations (5) et aux conditions A = B = C, A'=B'=C', A"= B''=: C", on trouve

A'= A' ces* y -t- 6A"sîn'y cos'y -i- A' sin^ç.

Si l'on identifie ou si l'on fait f = 4^ degrés, il vient

QUÂTRIÈm PARTIE. CHAPITRE V. 233

Ainsi, au lieu de (6), on peut écrire

(7) < Il iM'" I '^''^ U',

■ \da:{fy dxdz)

On pose ordinairement

dx dy dz dx dx^ dxdy dxdz

et l'on a, au lieu de (7),

' dx ^ ^ \dx^ dy^ dz^ J

Nous désignerons par la notation A|Cp la quantité

d^ff d^tf d^ff , dx^ dy dz' '^

M. Lamé Tappelle le paramètre différentiel du second ordre de la fonction (f. Nous poserons ensuite 2 A" = X, A + A" = fx ; X et fjt seront alors deux constantes spécifiques et caractéristiques de chaque milieu homogène, et les équations {9) des petits mouvements prendront la forme très-simple

, V .d^vi de

Les formules (lo) sont démontrées d'une autre manière

a34 TRAITÉ DE MÉCANIQUE RATIONISELLE.

dans le Traité de V Élasticité dans les corps solides de M. Lamé. Cauchy ne leur a pas donné cette forme, il leur laisse le plus souvent toute leur généralité, parce que son but est Tétudc de la propagation de la lumière dans les milieux cristallisés : ainsi il ne fait pas A=^ 6.... Quoi qu'il en soit, les formules (lo) sont très-utiles» Elles trouvent leur application en optique, en acoustique et dans la théorie de l'élasticité. 9 représente la dilatalion cubique du milieu dans les environs du point a*, y^ z.

En effet, — dx est T accroissement que prend la Ion-

gueur dx pendant le mouvement, -r dy^ -r ^^ sont les

accroissements des longueurs dy et dz^ en sorte que l'accroissement du parallélépipède de dimensions dx^ dy, dz^ serai t

l^dx H- g d.^ {dy + J 4r) [dz + ^ «fc) - dxdydz;

ou bien, en ne prenant que les termes du premier ordre

di dn dï; dx^ dy dz

di dn d^