V. — Formules de Cauchy pour le cas

ou IL n'existe pas DE LIAISONS.

310. Cauchy a fait connaître une formule qui peut être considérée comme fondamentale en Physique mathé— maiique, et qui permet d'écrire les équations des petits mouvements d'un système de points qui ne sont pas liés> les uns aux autres. [Nouveaux Exercices; Prague, Exer^ cices d^analyse et de Physique mathématique,)

Soient a:, y^ z les coordonnées d'un point quelconque du système; soit Wo sa masse et t'f(r) la force intérieure qui s'exerce eutre deux points situés à la distance r l'un de Tautre, et dont les masses sont égales à l'unité; soit m la masse d'un point voisin du premier, et dont les coordonnées sont x -h âx^y-h ây^ z -{- âz^ en sorte que Ton ait

Soient enGn m^ X, m^Y, m^Z les composantes parallèles aux axes de coordonnées, de la force extérieure qui soUi-

QUÂTnikMB PAKTIB. — CHAPITRE Y. SQp

■ciie le point m^; raction de m sur Wq est mm^ ^fi^)'^ sa projection sur l'axe des x est m^ mf[r)dx^ en sorte que les équations de l'équilibre du point m^ sont

IX + 2 mf{r)$x = o, Z -+• lmf[r)^z z=z o.

Si Ton veut obtenir les équations du mouvement, il suffira de joindre à X, Y, Z les composantes de la force •d'inertie du point m^ rapportées à l'unité de masse.

Il y a intérêt, comme nous Pavons déjà dit, à prendre des variables qui s'annulent dans la position d'équilibre ; aussi nous conserverons les notations JC, j^, z, et x-\-ôx^ j^+^, z-^^z pour désigner les positions d'équilibre des molécules m^ et m \ nous représenterons par x^^^ j^-f- w, z -hÇ les coordonnées du point m^ à l'époque f, lorsque le système aura, pour une cause quelconque, été dérangé de sa position d'équilibre. Nous supposerons J, >?, (^ incomparablement plus petits que dx^ (^^, dz, en convenant de négliger les premières quantités vis-à-vis des dernières; nous supposerons, en outre, que les quantités |, >7, (^ ne dépendent que de x^y^ z et du temps t. Les coordonnées -du point m dans le mouvement seront

<» -h ^a? H- Ç H- ^5, ^H- ^j- -f. „ -f. ^Tj, z + ^z 4- ç 4 ^ç, ou bien

dl dl dl I fd^l . \

ax ay az 2 \ax' j

et les équations (i) devront être remplacées par (3) ,X-^ + 2«/(r + p)(Jx + *Ç) = o,

^3o TRAITÉ DE MÉCANIQUE RATIONNELLE.

p désignant, pour abréger, la quantité dont r a augmenté dans le mouvement. On a, du reste,

OU bien, en négligeant les carrés et les produits de d^y.

SiSjc-h$rioy-^8^Sz ' r

Si Ton observe alors que /(''■+- p) est sensiblement égal

^ f (r) -h pf{r) ou kf(r)^^($ldx^dndjr^§^âz),

les formules (3) pourront s'écrire, en négligeant le produit ^^./O,

Si de ces équations on retranche les équations (i), et si Ton observe que les forces extérieures X, Y, Z, telles que la pesanteur, Tattraction des corps environnant le milieu, etc., ne changent pas de valeur pendant le mouvement, on aura

Si enfin, dans ces formules, on remplace JÇ, (Jy), $^ par leurs valeurs (a), on obtient les équations linéaires des petits mouvements. Si le système dont on étudie les petits mouvements est un corps homogène, et si Ton admet que