MOUVEMENTS

311. Nous avons vu que les équations des petits mouvements sont linéaires et qu'elles peuvent être représenr tées, dans le cas le plus général, par des équations de la forme [vojez le paragraphe précédent)

A, Bj C désignant des fonctions linéaires des dérivées de ^, y), Ç prises par rapport à x, j^ z. Si donc

(i) Ç = Çi> ri = Yii, K = Kn

désignent divers systèmes d'intégrales des équations (o), à cause de leur forme linéaire ces équations admettront encore l'intégrale

Les intégrales (i), (2),... résultent de certaines hypothèses faites sur les circonstances initiales du mouvement, ou, comme Ton dit, dépendent de certains états iniciaux; or l'intégrale (a) représente le mouvement résultant des mouvements partiels représentés par les formules (i), (2),..., et cela quelle que soit l'époque à laquelle on considère le mouvement, c'est-à-dire en particulier

!l36 TRAITÉ DE MÉCANIQUE KATIOVlfELLE .

à l'époque initiale; on peut donc énoncer le lliéorcme suivant :

Si un système de points matériels est animé de petits moui'ements^ le mouvement çu il possède est à chaque instant le mouv^ement résultant des mouvements quau-rait pris le système sous r influence des circonstaces initiales qui auraient produit indiv^iduellement les mouvements composants.

C'est dans ce théorème que consiste le principe de la superposition des petits mouvements dont on fait un usage continuel en optique et en acoustique. Pour bien en saisir le sens, il est nécessaire d'avoir recours à un exemple.

Je suppose qu'en ébranlant un point A du système il se propage un mouvement qui, au bout du temps f, soit représenté en m^ par les formules

en ébranlant, au contraire, un point B, il se propage un mouvement représenté en m^ par les formules

Ç = Ça> îQ = >îaj Ç ^= Ça»

Je suppose maintenant que l'on ébranle à la fois les points A et B. Le mouvement du point m©, qui, à l'instant initial, était en repos, sera représenté par les formules

Ç = Çi -+- Ça, >î = »ïr -+- >32> Ç = Çi 4- Ça,

et sera le mouvement résultant des deux premiers, parce qu'il satisfait aux équations différentielles du mouvement, et à l'époque initiale, aux circonstances initiales du mouvement.