QUATRIEME PARTIE. — CHAPITRE V. aSj
VIL MOUV^MEIÎT DE l'air DANS UN TUYAU.
312. Nous supposerons que Tair se déplace par tranches perpendiculaires à Taxe du tuyau, en sorte que les molécules, primitivement dans un même plan perpendiculaire à l'axe du tuyau, y restent encore après un temps quelconque. Prenons le plan O {fig^ 4'» P* 202) pour plan origine; soit OM = x. Considérons une tranche MN d'épaisseur dx'^ donnons à la face M de cette tranche un déplacement MM' = 11; la face N prendra un déplace-
ment NN' = 11 + — dx^ en sorte que l'on aura
dx OU bien
au I au \
du
On voit donc que --r dx est la dilatation de la Ion-
uX
gueur dx\ — sera donc la dilatation de Tunité de longueur du tuyau. Ceci posé, en appelant p la densité initiale de l'air, et p' la densité à l'époque t correspondante au déplacement u, et en désignant par &) la section droite du tuyau, la loi de Mariotte nous donne la relation
d'où l'on tire
/ du\ ptadx z=zp^(ù{i-h-j-\dx^
r du
La dilatation — est ordinairement faible; on peut
238 TRA-ITÉ DE MÉCANIQUE RÀTIOirirELLB.
donc écrire
en négligeant les puissances de — i la pression qui s'exerce
par unité de surface à Tépoque t sur le plan A, sera proportionnelle à p'*, on peut la représenter par a*p', ou par
Ceci posé, considérons une tranche d'épaisseur dx. Sur sa face antérieure il s'exerce à l'époque t une pression
sur la face opposée nous trouvons la même pression augmentée de sa différentielle, mais agissant en sens inverse, ou .
ou bien
La force qui sollicite la tranche en question se réduit i la somme algébrique des pressions que nous venons de calculer, ou à
^ dx^
La masse de la tranche est poadxy sa force d'inertie est
pùidx.
d^x IF
QUATRIÈME FAUTIE. — CHAPITRE Y. aSp
Téquation du mouvement de la tranche en question est
ainsi
d^u du*
a^ùiû — -— da: = »p — r-— dx^ ^ dx* ^ dl*
ou bien
dx* di^
Cette formule pouvait se déduire immédiatement fts formules de Cauchy, § IV, formule (lo) : il suffisait, pour cela, de faire >î = o, Ç = o -, la première formule devenait
'dF = ^^^^^d^'
LHntégrale générale de Téquation (i) est, comme Ton sait,
<f et ^ désignant deux fonctions arbitraires. Pour déter<miner ces fonctions, il faut se donner les circonstances
initiales du mouvement , c^esl-à-dire la valeur de -r et
dx
3 du ^ 1 • •
de — pour t= o, par exemple, ou, ce qui revient au
même, la dilatation initiale et la vitesse initiale de chaque tranche. Soit donc, pour t = o,
/ «k . du - . . du ^ , ,
En dîjBférentiant la formule (a), on a
-^ = y'(jp ■+- at) -+• ip' (or ■+- at) ,
^ = fl [[ff'{x -f. at) - f (a: - at)].
Si Ton fait t = o, il vient, en vertu des formules (3),
d'où Ton lire
f(x) = i[/(*)-iF(*)].
L'intégration fera alors coonaitre ^{x) et <^(x), et l'on anra
par 3uite, en changeant x en x -^ at el en x — at^ puis en tenant compte de la formule (2),
/ /% x--\-at /% X — at \
(4) « = ?(o)+>Ko) + -U^ -^^'^"^'"^i «^^'^"^O
F(«)fife.
at
Supposons, pour fixer les idées, que le tuyau soit illimité dans les deux sens, et que l'on donne un petit ébranlement circonscrit entre les limites a: = o et x = A ;
alors, pour ^ = 0, a, — =y(a:) et — = F(x) seront
nuls excepté pour o<C^x<^\. Si l'on fait alors t = o, a: = o dans la formule (4), on trouve
