VI. Du PLAN INCLINÉ
320. Considérons une sphère O placée sur un plan incliné Â6, et simplement sollicitée par son poids. Nous allons essayer de déterminer son mouvement. Soienl^le coefficient de frottement, o* le coefficient de roulement,
Fig. 46.
6j ff des quantités au plus égales à i , R le rayon de la sphère^ i l'angle du plan incliné avec l'horizon, M la masse de la sphère, et yi son moment d'inertie principal relatif au point O.
Les forces qui sollicitent notre sphère sont : i** son poids M^; 2^ la réaction du plan qui passe à la distance 6(j du point A^ 3° le frottement Mg^ô'/'cosi qui agit tangentiellement au plan.
Le centre de gravité de la sphère est donc sollicité au mouvement le long du plan incliné par une force
M g sin i — MgB'/cosiy
( * ) Je renouTclle ici l'observation faite au commencement dtf Chapitre. Je n'ai pas l'intention de faire une théorie, même abrégée, des organes des machines. En étudiant quelques mécanismes simples sans les classer, j'ai pour but de mieux faire comprendre les principes de la Mécanique rationnelle en les appliquant à des questions pratiques.
QUÂTRIEMB PÀKTIE, CHAPITRE VI. 2^5
et la sphère elle-même tendra à tourner autour de son centre de gravité (47) sous Tinfluence d'un couple ayant pour moment
'M.gB'fcosi.K — Mgcosi.crB.
Si le roulement a lieu, on aura = 15 et l'équation du mouvement sera, en désignant par ct) la vitesse angulaire de la sphère autour du point O (276),
dûi MgB'fcosi.'R — Mg'cosi.o-
dt fx
ou, en observant que (J^ = 4 MR* (ISO),
Le mouvement eflfectif de la sphère, dans le temps dt^ est une rotation autour de Taxe instantané qui passe au point de contact A 5 ce mouvement peut être remplacé par une rotation o) passant en O et par une translation Rw (24, 29), en sorte que la vitesse du point O sera R oi), et son mouvement sera donné par la formule
MR — = M^sin/ — MgB'fcosiy ou
(2) R — = ^sini — gB'/cosi,
De cette formule et de (i) on tire
(3) ^ (e'/R - <r) = sin/ - G'/cosi;
et par suite
, 5(rcos/ -4- 2Rsin2
7/Rcosi
^y6 TRAITÉ DE MÉCANIQDB KÀTIOKNELLE.
Pour que le roulement ait lieu sans glissement, il faut que 6' <] I , ou que
7/Rcosi>5orcos/ H- aRsin/,
ou, si Ton veut,
7/R — 5 a > 2 R tangi ,
Pour qu'il y ait glissement sans roulement, il faudrait
que — = o, ou que, en prenant ô' = i ,
On en lire
On doit donc
avoir
ou
Cette formule n'est satisfaite pour aucun corps connu^ en sorte qu'une bille placée sur un plan incliné roule toujours. On pourrait cfaindre que, pour de très -petites sphères, il y ait glissement; mais nous rappellerons que les lois du frottement ne s'appliquent pas aux cas singuliers de ce genre.
On verra facilement comment on peut modifier la théorie précédente lorsque la sphère, au lieu d'être soumise à la seule action de son poids, est encore sollicitée par une force constante quelconque.
Vn. Du TREUIL.
321 • Le treuil est une machine composée de deux cylindres ayant même axe et invariablement liés l'un à l'autre. Ces cylindres sont terminés par des tourillons^ consistant en cylindres plus petits qui reposent sur des coussinets^ c'est-à-dire sur la surface concave de cy-
QUÀTHIÈME PARTIE. -— CHÂPITHB VI. 277
lindres creux de rayons à peu près égaux à ceux des tou* rilloDS.
Le treuil, comme l'on sait, est employé à divers usages, et en particulier à Textraction des minerais. A cet effet, sur Tun des cylindres (nous verrons tout à Theure lequel) OD enroule une corde qui doit porter le minerai à extraire, et l'on agît tangentiellement à la circonférence de l'autre cylindre par divers moyens, de manière à enrouler davantage la corde sur le premier cylindre*
Représentons le treuil par une projection perpendieu* laire à son axe. Soient P et Q les forces qui agissent tan*
Fîg. 47-
gentiellemeat aux deux cylindres. Nous supposerons que Q soit la résistance^ c'est-à-dire le poids à soulever, P'sera alors l'effort qui tend à faire mouvoir le treuil.
Les forces qui agissent sur l'appareil sont : i^ les forces P et Qj a® le poids ts du treuil; 3*^ les réactions normales des coussinets ; 4^ les frottements des tourillons sur les coussinets. Les réactions normales se détermine* ront d'après les règles de la Statique ; elles dépendront de la position du centre de gravité du treuil. Ces réactions sont faciles à calculer : nous les désignerons par N et N^
Ceci posé, soient p et q les rayons des cylindres sur lesquels agissent P et Q, et r le rayon des tourillons. Si l'on suppose le mouvement uniforme et si l'on désigne par y*le coefficient de frottement relatif aux tourillons, le
ajS TRAITÉ DE MÉCANIQUE RÀTIOirilELLE.
frottement produit sur les tourillons sera sur le premier coussinet /N, sur le second ^N'. Dans un déplacement angulaire infiniment petit doCj les travaux de ces frottements seront f Tarda et f^'rdoL^ en sorte que l'on aura, pour l'équilibre des forces qui agissent sur le treuil,
P^ Qy /;.(N + N') = o.
Le travail nuisible est ici — f^{^ + N'). Pour le diminuer autant que possible, il faudra prendre r aussi petit que l'on pourra, diminuer^ par l'interposition d'un bon enduit, diminuer N et N' en diminuant le poids cr du treuil 5 enfin il faudra s'arranger de telle sorte que la résultante des forces P, Q, t7 soit minima ; il y aura ainsi avantage, si Ton peut, à faire agir la force P de bas en haut en un point situé entre le point d'application de Q et le centre de gravité de l'appareil.
Si le treuil est destiné à soulever un poids considérable, il faudra appliquer la force P au cylindre qui a le plus grand rayon ] on augmentera ainsi le travail Vp de la force motrice. Toutefois, il ne faudra pas exagérer la valeur du rapport p l ç pour ne pas trop ralentir le mouvement du poids Q.
L'axe du treuil a souvent une position verticale : le treuil porte alors le nom de cabestan*
Pour le cabestan, l'équation du travail n'est pas la même que pour le treuil, parce que le frottement n^agit plus de la même façon. En effet, le treuil est alors terminé à sa partie inférieure par un cylindre ou pii^ot qui repose sur une plate-forme appelée crapaudine. Le frottement des tourillons se calculera comme tout à Theure ; quant au frottement du pivot, il est facile à estimer. En effet, décomposons le cercle de contact du pivot et de sa crapaudine en éléments infiniment petits pd6dp^ p désignant la distance de l'élément au centre du cercle de con-
