QUATRIÈME PARTIE. CHAPITRE VI

doit calculer les dimensions en parties infiniment petites, et Ton exprime que la force qui sollicite chacune de ces parties est inférieure à celle qui suffirait pour la rompre.

Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de calculer la forme et les dimensions à donner a une colonne verticale massive pour qu'elle puisse supporter un poids P sans se rompre.

Le problème précédent peut admettre une infinité de solutions. On le rendra déterminé en admettant que la colonne doive être de révolution. Faisons celte hypothèse. Soit h la hauteur totale de la colonne, et considérons une tranche d'épaisseur dz prise à la hauteur z^ au-dessus du pied de la colonne. La tranche dz supporte, outre le poids P, tout le poids des matériaux qui forment la colonne depuis la hauteur z jusqu'à la hauteur h. Soit 7'le rayon de la tranche 5 la surface de sa base sera 7rr*; la partie de la colonne située au-dessus de la tranche en question sera

En appelant D la densité des matériaux de la colonne,

h r^dz -f- P

sera le poids qui repose sur la tranche considérée; l'unité de surface de cette tranche supporte donc le poids

^(D.^*rV. + p)

rVzH-

Trr'

Cette quantité doit être au plus égale au poids Ef^ capable de rompre un cube de matière ayant pour côté l'unité de

longueur. Posant alors

on aura une relation entre r et z, qui fera connaître le profil de la colonne. On tire de l'équation précédente

OU, en différentiant par rapport à 3,

On en conclut

— DTrr'rzr 2n7rr— -•

dz =z — dr,

En intégrant, on a

, , an , I

(i) z = -—- 1 — h const.

' Dr

La constante s'obtiendra en écrivant que la partie supérieure de la colonne résiste au poids P sans se rompre; le

poids supporté par unité de surface est — ^^ x désignant

le rayon de la tranche supérieure de la colonne, et l'on

doit avoir

Trar^

OU bien

V ttE

Écrivons alors que, dans la formule (i), on a r= i/ — pour z = hy et nous obtiendrons

2II An

const.;