SUR LES DÉTERMINA» TS FONCTIONNELS
La théorie des déterminants est aujourd'hui enseignée dans tous les cours de Mathématiques spéciales. Nous ne croyons pas avoir à la rappeler ici: nous nous contenterons de renvoyer le lecteur aux ouvrages dont les litres suivent : [Baltzer^ — Brwschi\ traduit par Combescure i Touvrage de M. Brîoschi est rédigé sous une forme trèssuccincte j Tauteur suppose probablement le lecteur au courant de la théorie élémentaire des déterminants. — Voyez aussi le Traité d^jilgèbre supérieure de Salmon, traduit par Bazin, et mon Traité d^ jilgèbre : le tout en vente chez Gauthier-Villars.)
Si nous désignons par [ij) l'élément d'un déterminant R qui se trouve dans la i' ligne et lajf* colonne, ce déterminant R sera une fonction homogène et linéaire des élé-
NOTES. 3a7
ments (û), (ta),. . ., (m), et Ton pourra écrire
en sorte que la notation -7- — r est éminemment, propre à représenter les déterminants mineurs de R, De même la notation ,,.., , ., ., représentera au siene près le déter-
d{fj)d(i/) ^ or
minant obtenu, en ôtant dans R les lignes d^ordre i et i\ et les colonnes d'ordre/ et ;'.
En adoptant la notation précédente, il est facile de voir que Ton a identiquement
^'^ d(ij)d(iy')~^d(if)d{i'j)-'''
Les deux termes de cette formule s'obtiennent au signe près, en ôtant les lignes d'ordre i et i', et les colonnes d'ordrey et 7'^ mais ces deux termes se déduisent l'un de l'autre en permutant/ et 7', c'est-à-dire en permutant dans R deux colonnes 5 ils sont donc égaux et de signe contraire. c. q. f. d.
Voici maintenant la démonstration d'un théorème dont nous ayons fait usage dans la théorie de la stabilité de l'équilibre. Je dis que Ton a
dR du dK dR d'K
d(ij) d{rf) d[ir) d(i'j) d(fj)d(i'r)
En effet, on a
€/R , ^, dK ^ ^^ dR . ,. Jo si ;>/,
d[ljy ' d{2j)' ' d(njy ' (R siyrr/-.
Multiplions par 7— -r-——— refaisons ensuite A' = i,a,3,...,7i
^ ^ d[ij) d[iA)
et ajoutons les équations ainsi obtenues; nous aurons
dR dH
d[i'f) d(ij)
/.x , V d^R ■., , rf'R ,., , 1 dK
^ ^ ' td{i'j') d{ii)' d{iy)d[i7.y Ad{i'j
Or, en vertu de (i), la quantité écrite entre crochets
pourra s écrire
r ^VR ,., V
ld(ri)d(ij')^''^
ou
dK
dii/y
et par suite la formule (A) donnera
^R rfR
à[m d[ij) d[i'j) d[if) d{i'f)d(o)
Jacobi appelle déterminant d'un système de fonctions
le déterminant suivant (*) :
d<Si dft dx\ dxi
d^i û?f2 ( I ) dx^ dxi
dxn
d^n dffn
dx^ dxi
d(fn
dxn
{*') Quelques auteurs appeUent ce déterminant le jacobien de 9tv?n* La théorie des déterminants fonctionnels est exposée en détail par Jacobi (Journal de Crelle, t. XXII, De Determinaniibus Jbnctionalibus).
IfOTES. 329
Nous le désignerons, conformément à l'usage^ par la notation
L'origine de celte notation lient au théorème suivant :
THÉORÈME. — Sillon donne aux variables Xi, Xg,. . ., Xn les n systèmes d'accroissement
/ » r f*l> f*2) • • • » f*rt»
pi, p2, . . . , p«,
les fonctions Çi, fj,... prendront les systèmes d^ac^ croissement
/W,, /Wj, . .,, /w„,
et /e déterminant du système des fonctions (pi, (pj, . . . , y„ ^erû /a limite du rapport du déterminant des quantités (3) au déterminant des quantités (2), lorsque celles-ci tendront vers zéro.
En effet, on a
dx^ dXi dx„
dxy dXi dx,
33o TRAITÉ DE MÉCANIQUE RATIONNELLE.
et, d'après la règle de la multiplicalion des déterminants, on voit que le déterminant des quantités (3) est le produit du déterminant des quantités (2) par le «déterminant (i). Si donc D(j?i,. ..,a:„) représente le déterminant d'un système d'accroissements donnés à Xiy. . ., Xny et D((fi,cp,,, . .,9„) le déterminant du système des accroissements correspondants de Çi, cf,, . . . , çf„, on pourra mettre le déterminant (1) sous la forme
De là résultent plusieurs corollaires :
1° Si Ton suppose Xj, Xj,..., Xn fonctions de j^i, Js5-- -.J», on aura
2^ Si Ton suppose un déterminant fonctionnel identiquement nul, par exemple si l'on a, quel que soit
il faudra en conclure
Cette formule exprime que les équations
r, a, 4- Tj aa -f- . . . -f- r„ a^ = O sont compatibles, ou, si l'on veut, que Ton a
a, dtfx -H aa rf^a H- . . . 4- «« rf^n = O
lïOTES. 33 1
pour n systèmes de valeurs de dx^^ dx^^, . ., dxn* Par suite, cette relation linéaire en r/ri,..., dx^ est une identité. Elle exprime que, si Ton suppose c?(p,, rfcpi,. , ., <^9n-i nuls, on a aussi d(j)„=o, ou, si l'on veut, elle exprime que, Çi,. . ., çf„i restant constants, y„ reste luimême constant, et par suite (P„ peut ^tre regardé comme fonction de Çj,..., y„i ^ en d'autres termes, si l'on a
P(yi»« ' »> y»)
identiquement les fonctions (^t? ^îi- • -9 ^n tic sont pas indépendantes les unes des autres.
EXERQCES.
I. Supposons ?!,...,?„ liés à x^, Xj, . . . , J7„ à Taide d'équations de la forme :
nilyoî^ï-'-i-^n-^j»---) = 0) n, = o,..., n„=o.
On aura
P(yt^yr-My„; ^. „ D(n.,n„...,nj D(n,,...,nj
n. ?,,...,?« sont fonctions composées de a-,, ... , x^. Calculer le déterminant des fonctions y par rapport aux variables x.
( Jacobi. )
