ET SUR LA SIMILITUDE

Quelques auteurs ont cru pouvoir démontrer à priori l'homogénéité des formules de la Géométrie, c'est-à-dire sans s'appuyer sur aucune propriété des figures. Les raisonnements que Ton a faits à ce sujet m'ont toujours paru vicieux, et, sans entreprendre ici de les réfuter, je me bornerai à faire observer que les raisonnements à pnori, qui tendent à prouver que les formules de la Géométrie sont homogènes par rapport aux lignes, pourraient s'appliquer mot pour mot aux angles, et conduire ainsi à des conséquences tout à fait absurdes (*).

Néanmoins les formules de la Géométrie sont homogènes par rapport aux lignes, et cela tient à ce que les formules fondamentales, dont on déduit toutes les autres, sont homogènes; ces formules sont celles que fournissent les théorèmes sur la similitude des triangles, sur la me-

C^) Si ToD admettait que les formales de la Géométrie sont homogènes par rapport aux angles, on arriverait à la conclusion absurde que voici : Deux triangles sont égaux quand ils ont un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun; donc si, dans un triangle, on se donne un angle G et )eà c6tés compris a, &, de triangle sera déterminé; donc le troisième côté c sera une fonction de a, ^, G, et -l'on aura

c = $>(«, ft, C).

Si cette formule était homogène par rapport aux angles, C devrait entrer au degré zéro, c'est-à-dire disparaître, c serait fonction de a et 6 seuls. Ge qui est absurde.

liOTES. 323

«ure du rectangle, et sur la mesure du parallélépipède rectangle. ' •

En Mécanique, pas plus qu'en Géométrie, on ne peut établir h prioii l'homogénéilé des formules; néanmoins ces formules bont homogènes, parce que les théorèmes fondamentaux conduisent à des relations homogènes, pourvu, bien entendu, qu'ici, comme en Géométrie, on laisse les unités tout à fait indéterminées. Entrons dans quelques détails.

Les vitesses sont des longueurs divisées par des temps; elles dépendent à la fois des unités de longueur et de temps, et peuvent être considérées comme du premier degré par rapport aux longueurs, et du degré — i par rapport aux temps. De même, les accélérations seront du premier degré par rapport 'aux longueurs, et du degré — 2 par rapport aux temps. Une force est le produit d'une masse par une accélération. L'unité de masse peut être choisie arbitrairement; l'unité de force résultera de Tunilé <le longueur, de l'unité de temps et de l'unité de masse. La force peut être considérée comme du premier degré par rapport aux lignes du premier degré par rapport aux masses, et du degré — 2 par rapport aux temps.

Ceci posé, je dis que les formules de la Mécanique «eront généralement homogènes. En effet, tout problème de Mécanique se ramène, en dernière analyse, à égaler des forces, des accélérations, des vitesses, des quantités géométriques ou des temps; ou bien encore à écrire qii une force est égale au produit (Tuiie masse par une accélération. Dans tous ces cas, on obtient des formules homogènes; donc toutes les formules de la Mécanique doivent être homogènes, pourvu toutefois que Ton ne fasse aucune hypothèse sur les unités, ce qui pourrait faire disparaître, en apparence au moins, certaines lignes, certaines forces, «le. Ainsi l'homogénéité existe dans les

324 TRAITÉ DE MÉCANIQUE RATIOiNHELLE.

sciences mathémaiiques, parce que celle homogénéité y a été introduite par les lliéorèjTi«s fondamentaux-, là où on ne Tinlroduit pas, elle n'existe pas. Ainsi les formules ne sont pas homogènes par rapport aux angles.

Lorsque Ton veut retrouver l'homogénéité dans une formule de Mécanique, il faut prendre la précaution de mettre toutes les lignes, tous les temps, etc., de la question en évidence. Mettons, par exemple, ce problème en équation :

Tromper le moiiv^ement recliligne d^un point sollicité par un centre fixe proportionnellement an cube de la distance.

Soient X la distance du mobile au centre fixe, m sa masse, t le temps, h un coefficient constant; on a

m—- — r= kx^, dC

Cette formule, en apparence, n'est pas homogène \ mais il est facile de mettre T homogénéité en évidence. En effet, soîentyi la force qui sollicite le point m à la distance Tq, f la force qui le sollicite à la distance a: ; on a

/ ^ d'où l'on tire

l'équation du mouvement devient alors

formule homogène, car la force y^ est du premier degré par rapport aux masses du degré — 2, par rapport aux temps, et du premier degré par rapport aux longueurs.

]N'0XES. 3a5

Considérons deux systèmes semblables, appliquons aux points homologues des forces parallèles et proportionnelles. Soient x^j^ z les coordonnées d'un point de masse m du premier système^ ^^y'^ ^' ^^s coordonnées du point homologue, ixm sa niasse, que nous supposerons proportionnelle à m\ soient (X, Y, Z), (X',Y', Z') les forces qui sollicitent respeclivement ces points : les équations du mouvement des deux systèmes sont

Si l'on prend X' = AX, Y'== AT, Z' = ÂZ, et si Ion

pose

on rendra les équations (i) identiques, c'est-à-dire que les systèmes resteront semblables pendant toute la durée du mouvement, si les forces elles-mêmes forment un système semblable. On rendra encore les équations (i) identiques en prenant X'=:fjiX, Y'=^Y, Z'=|:xZ, x'= A^x, j^'= i'j-, z'z=z k^z^ et en remplaçant dans la seconde formule t par kt» Cette remarque constitue un nouveau théorème sur la similitude.

Il résulte des considérations précédentes qu'il est pres' que impossible de juger une machine d'après un modèle exécuté en petit. En effet, sur le modèle, les longueurs étant réduites dans le rapport a par exemple, les masses sont réduites dans le rapport a^, la pesanteur et les forces proportionnelles aux masses sont donc réduites dans le même rapport, en sorte que A* = a et (x = a'^= A® 5 les

temps seront réduits dans le rapport A = yja^ ainsi que les

3^6 TRAITÉ DE MÉGANIQUE RÀTIONIIELLE.

vitesses. Mais, de même que la pesanteur a été réduite dans le rapport a', de même il faudra réduire toutes les forces dans le même rapport «^ : c'est ce qu'il est impossible de faire d'une manière bien satisfaisante, parce que les résistances passives ne varient pas dans le même rapport que les forces mouvantes. Les frottements de glissement, étant proportionnels aux pressions, varieront dansle rapport voulu a' ; les frottements de roulement varieront dans le même rapport, mais leurs points d'application ne seront pas semblablement placés. Les tensions, qui sont proportionnelles aux allongements, aux sections, et en raison inverse des longueurs, varieront dans le rapport a*. Enfin les forces dues aux actions moléculaires, à réchauffement des pièces, etc., ne peuvent guère être comparées.