QUATRIÈME PARTIE. CHAPITRE I. 3g

Le principe de la moindre action, le principe de Gauss et celui d^Hamilton ne fournissent que des propriétés du mouvement et jamais d'intégrales. Ils ont cependant leur utilité dans des cas où l'on ne trouverait que fort difficilement les équations du mouvement.

Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de déterminer la route que doit suivre un point matériel m pour se rendre de A en 6; le point A est dans un milieu où le point m se meut avec une vitesse constante a, le point B se trouve dans un autre milieu où la vitesse du point m est égale à une autre constante b.

Il serait difficile d'étudier les phénomènes qui se passent à la surface de séparation des milieux, de calculer les forces qui entrent en jeu, et, par suite, d'écrire les équations du mouvement; mais le principe de la moindre action nous apprend que, les vitesses a et b étant constantes, le temps du trajet doit être un minimum. La question est donc ramenée à celle-ci : Quelle route doit suivre le point m pour que le temps qu'il met afin de se rendre de A en B soit un n^ipimum."^

La surface de séparation peut être représentée par une équation de la forme

p et g désignant les distances d'un point quelconque de la surface à A et B, et r la distance du même point à un troisième point fixe C. Alors la quantité à rendre minimum ou le temps du trajet sera

p eiq étant liés entre eux par la relation (i). Égalons à zéro la différentielle de l'expression (2), nous aurons

dp dq

4o TRAITÉ DE MÉCANIQUE RATIONNELLE.

et la formule (i) donnera

df df df

-^dp-^ ^ dq -^ -^dr = o, dp dq dr

En employant la méthode des multiplicateurs, il faudra poser

\df i .df i df

dp a dq dr

et, par suite, on aura, pour déterminer p^ y, r, les équations (i) et

Ces équations ont une signification géométrique remarquable \ elles font connaître le point P où le mobile rencontre la surface (i).

Pour obtenir la normale à la surface au point P, il faut, comme Ton sait (*), porter, à partir du point P,

(*) Ce théorème peut se démontrer comme il suit :

Soient x, y, z les coordonnées rectangulaires du point P; a, a', a" les coordonnées de A ; &, h\ b" celles de B; c, c', c" celles de C. Le cosinus de Tangle u que la normale en P fait avec Taxe des x çst proportionnel à

d/ df dp df dq df dr

— ou a — I -H -—• — »

dx dp dx dq dx dr dx

c'est-k-dire à

df X — a dfx — h dfx — c

dp p dq q dr r

en observant que

et, par suite, que

dp

X — ^ it oc ^— o 3r I ij

Or , , sont les cosinus des angles que AP, BQ, CR