SUR UNE SPHÈRE

240. Problème. — Étudier le mouvement d'un point pesant^ assujetti à demeurer sur la surface d^ une sphère de rayon r.

Traitons d'abord la question à l'aide de coordonnées rectilignes. Supposons la masse du mobile égale à Funité.

font avec Taxe des x en appelant ces angles ^t fit vj et en désignant par N une quantité qui ne change pas quand on change x en^, ^ en « et 5 en x,

on aura

df df df

N cosw = -r- cosA -H -r-COSu-f- -^ COSv »

dp dq ' dr

et deux relations analogues relativement à Taxe des j^ et à Taxe des t. Ces relations prouvent que la longueur N portée dans le sens de la nor-

d.f d.f âf

maie à la surface est la résultante des droites de longueur -— v -i-^ -r-t

dp dq dr

portées dans les directions PA, PB, PC à partir du point Pj de là un

moyen de construire la normale à la surface.

4a TRAITÉ DE MÉCANIQUE RATIONNELLE.

Soient x^ y^ z les coordonnées prises par rapport à trois axes rectangulaires, passant par le centre de la sphère; en supposant Taxe des z vertical, la seule force qui sollicite le mobile étant son poids g y nous aurons pour équation du mouvement (212)

A cette équation, il faut joindre Féquation de liaison

qui exprime que le mobile reste sur la sphère. En différentiant cette équation, on trouve

Multiplions cette formule par X, et ajôutons-la avec (i) ; égalons ensuite à zéro les coefficients de ^.r, dy, ôz^ nous aurons

d^x ^ d^x ^ dH

Ces équations, que Ton aurait pu écrire immédiatement en désignant par Xr la réaction de la surface, sont les équations du mouvement; il faudrait éliminer X entre ces équations, et les équations résultantes jointes à (a) permettraient de calculer x, j^, z en fonction du temps.

Mais Xy y^ z ne sont pas les inconnues naturelles de la question, et rintégration des formules (3), (2) serait compliquée. Le point mobile est ordinairement assujetti à décrire la sphère au moyen d'un fil de longueur constante fixé par Tune de ses extrémités; l'appareil ainsi formé porte le nom de pendule conique. Ce qu il importe alors de connaître à chaque instant, c'est Tangle que fait le fil avec la verticale, et F angle que fait sa projection