QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE I
sur un plan horizontal avec un axe horizontal fixe; en d'autres termes, c'est la longitude et la colatitude du point mobile qu'il s'agit de calculer en fonction du temps. On pourrait y arriver à Taide des équations (3) ; mais il vaut bien mieux avoir recours aux formules de Lagrange, dans lesquelles on n'a plus à s'occuper des liaisons, avec le choix des nouvelles variables, puisque, en posant
X = rsinÔcos>p, j = rsinÔsin^, z = rcosô,
et en laissant r constant, les liaisons se trouvent satisfaites d'elles-mêmes. En désignant alors par T la demiforce vive, et par Jd -h Y5^ le travail de la pesanteur, on a
Or on a
ou
d'où
d dJ dT
r^dQ^-hr^sm'Bd^^ ^"- ^d? '
T=z\{r^Q''-\-r^sïn^Q^");
dH dl
-— - rr= ^'SlnôCOSÔ^^'% -— =r o.
On a ensuite
d'où
e=: — r^sinô, Y=ro.
Les équations (4) deviennent alors
r-T-^ — rsmôcosGl -^ | +g'sinO = o,
^fr'sin'ô^^ =ro.
dt\ dt j
La seconde équation donne, en désignant par c une constante,
(6) r>sin'0^=c.
^ ' dt
Celle formule serait donnée par le théorème des aires; la première équation (5) donne, en la combinant avec (6),
éf'ô c^cosO . ^
dt^ Hsin^e ^
en multipliant par r/9, on peut intégrer une première fois, et Ton a
a \dt ar^siD^Ô ** '
a désignant une nouvelle constante. On en tire
/ = I -H const.
J si — c*+agr*sin'ôcosô-|-2r'ûsin*0
Si Ton pose
cosô = — «9
on a
/r^du — -I- const. ;
la quantité u ou — cos9 est donc une fonction doublement périodique du temps. La formule (6) donne
^ J r»sin»
. const.,
