QUATRIEME PARTIE. — CHAPITRE II. jâ

fonctioD F devient

c'est- à-dire, en observant que —-7 est égal à mx\

L'équation (5) devient alors

in. — De la fonction principale.

250. Hamilton a donné le nom àe fonction principale à l'intégrale

(i) V=l nTdt,

que l'on considère dans leprincîpe de la moindre action. Cette intégrale joue dans la théorie qui nous occupe le même rôle que la fonction S 5 aussi convient-il d'étudier ces fonctions simultanément. Mais la fonction V présente sur la fonction S cet avantage (précieux, comme nous le verrons par la suite) de ne point contenir le temps explicitement.

En effet, nous avons trouvé dans le paragraphe précédent [équation (4)]

Or

S=r {T-^V)dtz=y— f Edt;

mais la quantité H est constante en vertu du principe des forces vives. On a donc

Si Ton difTérentie alors partiellement par rapport à f, on a

c'est-à-dire, en vertu de (2),

dY\ dt j

La fonction Y ne contient donc pas le temps explicitement ainsi que nous Pavions annoncé.

Si dans la formule (3) on fait ^0 = ^ ®^ *' 1'^" considère V comme fonction de Çi, ^t, . . . et de H, on a

d^d\ dY /^\ — dq'^dq' rfH^'' [dt)'"

L'équation (5) du paragraphe précédent devient alors

„ T7 ,,/^V dV \

ou

bien

fdV dV \

Telle est Féquation aux dérivées partielles à laquelle satisfait la fonction principale. Lorsque Ton prend des coordonnées rectangulaires et lorsque en outre le système n^est soumis à aucune liaison^ Péquation précédente prend la forme