IV. — Théorème de Jagobi
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Les équations contenues dans ce type sont les intégrales du mouvement, puisqu'elles établissent k relations ren* fermant nk constantes arbitraires entre ^i, ^2,..., (ji et t. On voit ainsi que les intégrales du mouvement peuvent s'obtenir en égalant à des constantes les dérivées de la fonction caractéristique prises par rapport à d'autres constantes (^), qui ne sont autre chose que les valeurs initiales des variables. Or la fonction caractéristique est définie par l'équation différentielle suivante :
Il était naturel de se demander si une intégrale quelconque de cette équation ne pourrait pas remplacer la fonction S. C'est ce qui a lieu en effet, et cela résulte du beau théorème suivant.
251. Théorème de Jacobi. — Soit S une intégrale de V équation aux différences pai^ielles
(') \di)^'^[dirdf.'''''d^k'^''^''''''^'' ')='''
(*) Cette remarque est d'Hamilton.
renfermant k constantes arbitraires «i, «j,. . •, «jt dij'" férentes de celle que Von peut toujours introduire par simple addition. Les 2k équations dont le type est
/3i, /Bj, . . . , Pi désignant de noui^elles 'constantes, seront les intégrales des équations simultanées dont le type est
,ox ^ — ^ ^— ^
^^ dt'^dp' dt" dq'
la fonction f qui entre dans ces équations ne différant
de celle qui entre dans (i) que par le changement de
dS
-T- en p.
dq '^
Pour démontrer ce théorème, nous allons faire voir que les équations (3) sont des conséquences de (2). Les formules (a), résolues par rapport aux p et aux q^ permettent d'exprimer ces variables en fonction de t, des a et des jS.
Soient d une caractéristique de différentiation relative h t eX. à une caractéristique relative aux a et aux |3 , en
sorte que -7- soit la dérivée de F prise en laissant les a
et les j3 constants et SF une différentielle prise en laissant t constant et en faisant varier (Xj, (3i, ^2, /3s, . . . . On aura
.dS d^S
Or
àt ~" àt
àt dt'^ Zà dq dt ^'
di tion explicite de t, q^^ ^,, . . . , ^j^, a|, ot.^^ . ,. y a^^.
Je ^
(*) -r- est la dérivée partielle de S prise par rapport à «, S est foiHv
