CHAPITRE II. — ATTRACTION ET POTENTIEL. l

parlies distinctes :

Pour interpreter geomelriquement cette formule, considerons le vecteur F ayant pour projections G, H, K (champ devecteurs); on appelle divergence du vecteur en un point la quantite

' dG m dK

(2) div F< = Kj 1

v ' dx dy z

Cette quantite a une signification geometrique independante du choix des axes; cela resulte de ce que la quantite

qui est la projection du vecteur G, H, K sur la normale exterieure, est aussi un invariant dans le cas d'un changement d'axes. La formule de Green s'ecrit alors avec ces notations, ou ne figurent plus que des elements invariants :

f divFrfx = f Fnd<j.

Cas particulier interessant. — Posons maintenant

G=UT-j II = (j — , k — tj

dx dy dz

on a

dG dH dK i; /d*V d^V d*V\ ( dlTDV dV cHJ^V

dx dy ' dz ~ ' \dx- dy- dz2 / ' dx dx dy dy <dz dz '

et l'equation (1) devient (A etant l'operateur de Laplace)

fv ay * + r(™¥+™£ + « a

Jj JT \dx dx dy dy dz dz )

f T J / 0\ rjd\ d\\ .

Posons encore

„dv M-CH

dx ^ dy ^ dz ~ da ' Cette expression est appelee la der'wee suivant la normale exte-

I j FIGURES D'EQUILIBRE D'UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.

rieure, dV etant la variation de V quand on passe du pied M de la normale au point M' distant de dn sur cette normale. On a alors

r„^r, r/dvdv ov v dv dV\. r^av .

(4) J[UAV*+Jr (jj s + ,y y + ^ e^-J^s*

Si les fonctions considered G, H, K derivent d'un potentiel V on a U = i , et la formule de Green devient

f AV dkz == C ~~r~ d?.

On peut faire encore dans cette formule U = V ou U = <p(V), et Ton obtient d'autres formes remarquables de la formule de

Green.

Changeons, par exemple, V en (J et U en V ; on a

JT T ■JT \dx dx dy dy dz zj " ./s dnC J'

En retranchant ces deux dernieres expressions, on obtient

(5) jr(UAV VAU)*=^(ug-vf)*.

Nous aurons a considerer en general des fonctions uniformes et finies a l'interieur des domaines etudies. Si pourtant, en certains points du volume, la fonction sous le signe somme devient infinie, on tourne la difficulte de la facon suivante. On entoure le point singulier A d'une sphere a d'un rajon tres petit, ayant ce point

Fig. 2.

pour centre. Dans le volume compris entre la surface S et la sphere ct, il n'y a plus de point singulier el Ton peut j appliquer