CHAPITRE II. — ATTRACTION ET POTENTIEL. l
la formule de Green (fig* 2). On remarquera toutefois que la normale exterieure au volume, sur la surface cr, est dirigee vers l'interieur de cette sphere. Dans chaque cas, on recherchera alors la limite de l'integrale etendue au volume de la petite sphere quand le rayon de a tend vers zero.
5. Attraction et potentiel. — i° Attraction de points isoles. — Soient mM m2, . . ., mp des points fixes attirants, P le point attire" de masse jji, / la constante de la gravitation. L'attraction
newtonienne de mx est une force F< == — f^-pr* Si P vientenP',
point infiniment voisin {fig. 3), le travail de la resultante est egal
Fig. 3.
a la somme des travaux elementaires des composantes
se = — />7a dri—...—fy -Ldrp=fixd{ -}-+...-+- r\ rf> \ r ± 1 % r .
C'est une differentielle totale. 11 existe done une fonction de forces ou potentiel /p-V :
X, Y, Z £tant les projections de la resultante sur les trois axes.
V est une fonction essentiellement positive qui devient nulle a l'infini. Elle est uniforme et finie partout, saufaux points attirants. On peut d'ailleurs prendre p. = 1 et/ = 1 en changeant Funite de temps; alors
Enfin cctte fonction V verifie l'equation AV = o en dehors des
masses attirantes.
2° Masses continues. — Nous nous occuperons d'abord des volumes et, plus loin, des surfaces et des lignes attirantes, et nous les supposerons finis et limites.
La densite p est une fonction des coordonnees a, 6, c d'un element dm du volume. Elle peut etre discontinue, et d'ailleurs la
surface qui limite le corps sera ton jours une surface de discontinuity pour la densite {fig. 4)- Le potentiel devient ici
( <>' > V = y = j f f P ^ , r = sj{x-a)^{y-by-+{z-cy ,
dm = p d~ = p da db dc etant la masse de l'element de volume. L'integration est faite par rapport a a, b, c, et le resultat V est une fonction de x, y, z.
Les composantes suivant les axes de l'attraction sur P(#, z) seront
dx ' dy ' dz
(). Etude de la fonction Y ou potentiel. — i° V est lini et continu dans tout Fespace, exterieur ou interieur aux masses attirantes. A l'infini, V devient mil.
Soit, en effet, O un point du corps attirant: supposons le point attire P situe tres loin du corps attirant et par consequent de O. Appelons R la distance OP et developpons V suivant les puissances croissantes de ^; on a
M A, Ao
