CHAPITRE III. — ELLIPSOIDES DE MACLAURIN ET DE JACOBI
maximum de Maclaurin. C'est d'ailleurs un ellipsoide de revolution pour lequel l'aplatissement e seraitvoisin de ^
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La courbe dans V espace {fig- 19) s'obtiendra en prenant un point R de la courbe precedents et en elevant une ordonnee RJ = h= cp(s, t), valeur essentiellement positive :
a. h est symetrique en s et t. La courbe gauche est done symetrique par rapport au plan //OS. II suffira den construire la moitie. Partons de A, on a t = o et s = 1 ; />, qui contient s et t en facteur, est done nul.
b. Quand s croit, h croit constammcnt jusqu'a ce que s atteigne In valeur t0.
Pour s = t, on a /0 = o, 33(^6; on obtient alors h = 0,1 871. ( .'est le maximum de k que nous representors par le point E.
Pour avoir les ellipsoides qui correspondent a une certaine valeur de w, il suffit alors de chercher sur la courbe les points
to-
en deux points J' et J" symetriques par rapport au plan AOS, auxquels correspondent sur le plan les deux points R/ et R" symetriques par rapport a OS.
En resume : i° La condition d'existence des ellipsoides de Jacobi est
cot£s h = ~—f~m Le plan horizontal de cote h coupe la courbe
to
Tant (jue Ton a /i< h0 = o, 187, a chaque valeur de w correspondent en apparence deux ellipsoides de Jacobi; mais ces deux ellipsoides sont identiques, car si la premiere solution est s = s' et / = La seconde sera s = t' et t = s'. C'est le meme ellipsoide : on a seulement permute les axes de coordonn£es y et x. Eu effet, c ne change pas, a et /> s'echangent entre eux; l'ellipsoide a done
tourne de - aulour de son petit axe.
2° Si li — o, 1 87, il y a une solution pour laquelle s = t — 0,3396.
APPBLL. — iv.
6f» FIGURES D'EQUILIBRE D'UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.
Les deux axes a et b deviennent egaux. L' ellipsoide de Jacobi devient, dans ce cas limite, un ellipsoide de revolution parliculier que nous designerons par E. C'est certainement en m£me temps un ellipsoide de Maclaurin, puisque notre analyse nous a donne tous les ellipsoides de revolution qui peuvent exister eomme figures d'equilibre. E a ceci de remarquable que cet ellipsoide appartienl aux deux series d'ellipsoides, ceux de Maclaurin et ceux de Jacobi. II etablit le passage des uns aux autres.
3° Si l'on a h >> 0,187, il n'j a plus d'ellipsoides de Jacobi possibles.
4° Que se passe-t-il si w tend vers zero ? Dans le cas des ellipsoides de Maclaurin, nous avons trouve une sorte de disque tres plat et de tres grand rayon. Jci, nous avons une figure tres differente. En effet, pour o = o, on a h — o, d'ou s = o et f = i, ou t — o et s — 1 , ce qui donne le merae ellipsoide. Or, si s est
nul, c est nul, a est infini, b est nul et ~ tend vers un. Ainsi done.
quand w tend vers zero, le grand axe augmente indefiniment, le petit et le moyen tendent vers zero, pendant que leur rapport tend vers Funite. La forme d'equilibre est alors une sorte d'aiguille sensiblement ronde et tres allongee. La vitesse angulaire autour de Oz est tres faible.
