CHAPITRE III. — ELLIPSOIPES DE MACLAURIN ET DE JACOB

et dt, on peut ecrire

lh f~ , . ( dt \~\ dk dt

ds L"v~ \ds ' j J dr aNec ^$ °i

<U> est posilif et li croissant pour s <C t — tQ. 11 est nggatif et h decroissant pour 5 >• t. It est maximum pour s = t =

3° Determination de t0 et h0. — Pour s = / = £0 , les deux equations fondamentales deviennent

, C * x dx

Jo {i+-l0xf ^i + x

v /■ » a? dx > r™ dx

JQ i0xy (i-h x)* JQ

(i -+- t0xy (i ■+- x)>2

On pourrait les integrer en les decomposant en fractions rationnelles. Mais on a un ellipsoide de revolution et il est plus simple de revenir aux notations de ce cas particulier. On pose

On a, en remplacant i -\-x par -^j et supprimant des facteurs dans <l,

„s fvxHi h- x2) ,

Or, on peut ecrire i -h 3 0

Act mil

,(i -h to)2 lo

La derniere inlegrale h ,, , est nulle aux deux limites el

— o. II vient

3 //- / z-2 cuj

Or, pour tin ellipsoide de revolution, on a

arc tang / — »i

On en lire, en eliminanl //„,

F == arc tans: / — /

l^ur / = o. i'expression du premier membre est nulle. Sa derivee est

Pour /< i, celle derivee est d'abord negative, puis positive pour i. La fonclion F, nulle pour l = o, est d'abord decroissante et negative, puis pour i elle devient croissante el tend

vers ^« Elle a done une racine et une seule pour / >> i . Cetle

racine / est deterininee par l'equation F — o. En tenant compte de la valeur correspondante de arc tang/, on obtient

Lescalculs donnent

Pour qu'un ellipsoide a trois axes soit possible comine figure d'equilibre, il faut done que ^expression -j^p soit inferieure

a 0,1871. Celle valeur est plus pelile que celle qui correspond an