CHAPITRE HI. — ELLIPSOIDES DE MACLAURIN ET DE JACOBI

defiuie ci-dessus. Pour rendre les resultats plus facilement comparables avec ceux relatifs aux ellipsoides de Jacobi, prenons la menie variable s

La formule (55), qui represenle les ellipsoides de Maclaurin, devient

/- (i + 25) arc tans; / — 3 us ( 1 — s) '— n .v

Corame la valeur de s reste comprise enlre o et 1, la courbe se trouve egalement limitee (Jig. 20). Pour s — 1, ce qui correspond

Fig. 20.

a l = o et a l'origine pour la courbe de la figure 17, on a h == o et le point A, cas de la sphere. Pour 5 = 0, e'est-a-dire / = co, on a /i = o et le point zero, cas du disque aplati. Le maximum h0 — 0,224 a lieu pour 5 = 0, 1 35, point /, cas limite. Pour une valeur H de on aura deux points m' et m" de la courbe, qui determinent deux valeurs p1 et p" de s et les deux aplatissements des deux ellipsoides de Maclaurin.

On peut representer tres clairement l'enseinble de ces resultats, pom- les deux series d'ellipsoides, au mojen d'un graphique analogue a celui de Poincare ( Fig ures d'equilibre, p. 1 63 ). 11 suffit de reprendre la figure 18, projection horizontale de la courbe des ellipsoides de Jacobi. Les ellipsoides de Maclaurin j sout represented par La bissectrice OS, ou s = t, qui estla projection surle plan *0 s de la courbe de la figure 20. Le point S represente le point A de la figure 20 pours=£ = i. La distance a l'origine des points rorrespondants sur OS est seulement mullipliee par ^ 2, puisque OS

68 FIGURES d'equilibre d'une masse liquide en rotation.

est ici la diagonale du cane dont le cote esl O \ i , mais Leur

ordonnee donne la vraie valeur de s.

L'ellipsoide d'axes a, 0, c est done represents dans le plan tOs par le point K de coordonn^e .5 et t}

Ces coordonnees representent 1'inverse de la racine carree du grand axe a et de l'axe mojen bt si Ton prend l'axe de rotation c comme unite.

Suivons les ellipsoides de Maclaurin d'abord a partir de la sphere {fig- 18). Le point repr£sentatif se deplace sur OS. Pour co = o, on a la sphere c = b = a et s — t = \. Elle est representee par le point S. Si l'aplatissement augmente, s et t diminuent : le point figuratif se rapproche de l'origine, sur la bissectrice, dans la direction SO. Suivons ensuite les ellipsoides de Maclaurin tres aplatis : s el t voisins de zero; pour co = o, point zero. Si la vitesse augmente, l'aplatissement diminue et s augmente. Le point figuratif s'eloigne de zero sur la bissectrice. Les deux points representatifs se rencontrent au point D pour lequel onai = o, 1 3 5 , la valeur limite de h etant hQ = o, 224.

La courbe des ellipsoides de Jacobi se projette en ABC. Le point G represente l'ellipsoide de bifurcation, qui est a la fois de Maclaurin et de Jacobi, ellipsoide E. Si, a partir de la vitesse correspondanta f0, la vitesse de 1'ellipsoide de Jacobi diminue, l'aplatissement de sa section equatoriale augmente. Les valeurs de s et de t different de plus en plus. Le point figuratif decrit la courbe CB ou GA. A la limite, pour une aiguille allongee, s — 1 011 t = 1 , on a le point A ou le point B.

Cette representation graphique des resultats sur le plan peut etre completee par sa representation dans l'espace. II suffit de prendre la cote h au-dessus du plan tOs representee par la figure 18, ou encore de completer la figure 19, qui represente les jacobiens, par la courbe de la figure 20, qui represente les maclaurins, etqui vient se placer dans le plan bissecteur de tOs, en OE0ES (Jig. 21).

Les deux courbes AEB et OES decrites par le point figuratif dans l'espace fournisbent alors une representation graphique complete des resultats acquis pour ce probleme. En particulier, la