CHAPITRE III. — ELLIPSOIDES DE MACLAURIN ET DE JACOBI

cuurbe plane dont la projection est la bissectrice de *0/, est analogue a la courbe etudiee dans le cas precedent {fig. 20), sans lui etre identique, comme on l'a vu, l'unite choisie pour les abscisses n'etant pas la meme et etant egale a celle de la figure 20 multiplied par y/2.

Fig. 21.

II v a deux points remarquables des courbes de l'espace : le point E, dont la projection est G, ou EC = 0,187 ; et le point E0, dont la projection est D, ou E()D == o, 224- La courbe decrite par le point representatif des ellipsoides de Jacobi passe par E. De plus, quand s ou t tendent vers zero, et par consequent quand les aplatissements deviennent infinis, h tend vers zero. Ainsi, la courbe de l'espace tend vers les points A ou B du plan horizontal pour /> voisin de zero.

Nous avons, dans cette etude des figures ellipsoidales d'equilibre, un premier exemple de deux idees introduites par Poincare :

1" Position d'equilibre de bifurcation. — Le point E repre- >ente une position d'equilibre de bifurcation car on peut y arrivcr en suivant deux chemins difFerents : par des ellipsoides de Maclauiin ou par des ellipsoides de Jacobi. On peut suivre pour cela deux series lineaires de positions d'equilibre, c'est-a-dire deux courbes a un seul parametre qui out ce point commun.

Inversement, en partunt de E, les ellipsoides d'equilibre infiniment voisins sont de deux sortes : il j en a deux de Maclaurin et un de .Jacobi. On reconnaitra, en traversant le point E, qu'on reste

dans la meme serie d'ellipsoides si les derivees des axes reslent continues.

2° Position d'equilibre limite. — Le point E0 represents une de res positions. Quand on est arrive en E0, si Ton continuait a faire croitre w, la figure ellipsoidale cesserait d'exister. la figure d'equilibre ne pourrait plus etre un ellipsoidc.

Discussion en prenant le moment de rotation comme parametre. — Nous appelons ainsi la somme des moments des quantites de mouvement ^ = lco par rapport a l'axe de rotation. On peut considerer ce moment comme donne, au lieu de la vitesse de rotation. Laplace et Liouville expliquent que c'est la le veritable problcme qui se pose en Mecanique celeste. Dans l'hypothese de Laplace, en effet, la planete est a l'origine une masse gazeuse de grande etendue. Supposons-la soustraite aux actions exterieures : il s'y produit des mouvements internes, des couranls plus ou moins reguliers. Alors, la somme des moments des quantites de mouvements prise par rapport a des axes passant par le centre de gravite de la masse est constante. Le moment cinetique p. a une direction et une grandeur constantes. Le plan perpendiculaire a ce moment est le plan du maximum des aires.

Peu a peu, les mouvements internes se regularisent et s'egalisent par le frottement (ils ne sont pas encore rigoureusement egalises pour le Soleil, Jupiter et Saturne). La masse gazeuse pent tendre alors a prendre un mouvement d'ensemble et a devenir une figure permanente en mouvement. Si nous faisons riivpolhese, assez eloignee de la realite, que la masse est homogene, le mouvement permanent sera necessairement une rotation autour de l'axe Gp..

Ainsi on peut supposer qu'au bout d'un temps Ires long le corps tournera autour de l'axe Q\x et la valeur de \x n'aura pas change. En choisissant p comme parametre au lieu de co, Laplace a fait les calculs dans le cas des elJipsoides de revolution et Liouville pour les ellipsoides de Jacobi (Journal de Mathematiques, t. XVI).

Ellipsoides de Maclaurin. — Nous avons alors