II. - L'ÉDIFICE EUCLIDIEN ET SES SCHÉMAS

116. L'édiûce euclidien. — La géométrie euclidienne fut, dans ses origines anciennes, une science expérimentale de mesure appliquée à la surface terrestre, une véritable v. géométrie y>. Ce n'est que peu à peu qu'on se préoccupa d'en tirer un édifice logique.

Avant le xix* siècle, deux noms dominent son étude, celui d'Euclide et celui de Descartes et chacun marque une étape de la science.

Euclide codifia le premier l'édifice logique de la géométrie pure, sous la forme qui subsiste encore aujourd'hui ; ses Eléments constituent, à la fois un édifice logique et un schéma que son génie a su dégager de la géométrie, au seïis que nous donnons ici à ce mot.

Descartes, établissant un lien entre les concepts géométriques et les concepts algébriques, a montré qu'on pouvait développer analytiquement toute la géométrie sans faire aucune figure, sans faire correspondre aux éléments algébriques aucune représentation spatiale ; il a séparé l'étiifice logique du schéma.

Un exposé simple et impeccable de la géométrie euclidienne renversera aujourd'hui ces deux étapes. Bornons-nous à la géométrie plane.

Nous conviendrons d'appeler [point] tout système de deux nombres x^y^ [droite] l'ensemble des [points] dont les coordonnées vérifient une équation linéaire, [distance] de deux [points] x^y^ et a?', y' la quantité

sj \x — x'Y-v-i^y — 7')', [angle] de deux [droites] d'équations y = mx-v- n et y •=. m'x -+- n' ,

le nombre V défini à r, près par la formule tane V = ;> etc.

^ ^ o 1 -( fnm

Entre d'autres termes, nous ferons de l'algèbre pure, en prenant comme

bases des définitions conventionnelles calquées sur celles de la géométrie

euclidienne classique. Nous nous cfi*orceron8 naturellement de n'irjtroduire

que des définitions compatibles et aussi d'en réduire le nombre au minimum.

Nous bâtil'on's ainsi peu à peu Védijlce euclidien.

117. Le schéma euclidien classique.— Il est maintenant facile de donner un schéma de cet édifice logique. Appelons point, droite, dislunces angle, etc. (sans crochets) les éléments que la géométrie classique désigne de ce nom et dont tout homme se fait une représentation spatiale et convenons qu'un [point] est représenté par un point (dont x gX, y sont les coordonnées cartésiennes), une [droite] par une droite, etc.; nous obtiendrons ainsi une rcprésenlatioi. spatiale concrète des théorèmes énoncés dans l'édifice euclidien.

Ce schéma n'est du reste pas le seul qui puisse servir à cette représentation ; si nous le soumettons en eiïet à une transformation birationnelle quelconque, nous en déduirons un autre schéma dans lequel la (droite] de

l'édifice logique sera représentée par une courbe, la [distance] par une fonction plus ou moins compliquée des deux [points] et ce schéma pourra servir au même titre que le premier (avec peut-être plus ou moins de commodité) de support aux raisonnemenls de l'édifice logique euclidien.

Pour en donner un exemple, soumettons le schéma euclidien classique à une transformation homographique. Une [droite] sera encore représentée par une droite du nouveau schéma, par contre une [circonférence] sera représentée par une conique passant par deux points particuliers qui sont les co^-respondants des [points cycliques]. Nous n'avons plus immédiatement la représentation de la [distance] ni celle des [angles], mai^ il est facile de les retrouver en partant du rapport anharmonique de quatre [points] en [ligne droite] qui est égal au rapport anharmonique des quatre points représentatifs.

Dans le schéma euclidien classique, pour mesurer une longueur, il faut chercher à la reconstituer à l'aide d'une unité de longueur préalablement donnée ou à l'aide de ses parties aliquotes. Il faut donc savoir déplacer cette unité. Nous sommes donc conduits à étudier les déplacements dans notre nouveau schéma.

A la droite de l'infini du schéma euclidien classique, correspondra ici une droite quelconque A, portant les homologues I et J des points cycliques. Deux [droites parallèles] seront représentées par des droites concourantsur la droite A. Ceci posé, soit AB l'unité de longueur arbitrairement donnée dans une de ses positions ; une [translation] sera une opération l'amenant dans une position A'B' telle que la figure ABB'A' représente un [parallélogramme] ; une [rotation] (à partir de cette nouvelle position) autour du [point] A' sera une opération l'amenant dans une troisième position A' B" telle que V>" soit sur la [circonférence] de [centre] A' qui passe par le [ point] B'. Cette [circonférence] est ici représentée par une conique tangente en f et J aux deux droites A' I et A' J et passant de plus par le point B'. On sait que ce sont là cinq conditions linéaires détermmant de façon unique la conique. Un [déplacement] général sera composé de [translations] et de [rotations] successives.

Pour obtenir la représentation de la [distance] de deux [points] M et M', on commencera par [déplacer] l'unité de longueuj de façon à l'amener en MP sur la {droite] MM'.

Si l'on avait effectué les mêmes opérations dans le schéma euclidien classique, la distance (au sens ordinaire du mot) aurait encore pu être définie comme la valeur absolue du rapport anharmonique des quatre points M', P, M, Q, ce dernier point étant le point à Tinfini de la droite MM'. Celte définition peut, sous cette forme, se transcrire ici et la [distance] sera représentée dans le nouveau schéma par la valeur absolue du rapport anharmonique des quatre points M', P, M, Q, ce dernier étant le point de rencontre de la droite MM' avec la droite A.

De même, 1' [an^ie | de deux [droites] D et D', issues d'un [point] M, sera donné au mo\e!i des éléments du schéma |)ar la formule (^déduite