CHAPITRE Vil. — APERÇUS DE GÉOMÉTRIE CAYLBYENNE. l8y

134. Cas OÙ l'absolu est pseudo-réel. — Lorsque l'absolu est pseudoréel, on peut toujours, comme nous l'avons fait au n" 125, supposer qu'il coïncide avec le cercle d'équation

X, y, z désignant des coordonnées cartésiennes rectangulaires homogènes. Une transformation homographique quelconque pourra toujours s'écrire

sous la forme

r x' ■=■ ax -\- by -h cR^,

(i8) < j-'= «i-r -I- 6ijK -+- CiR^,

\ Rs'= aga? -h 62JK -H c^R^ ;

et comme on peut en multiplier arbitrairement les coefficients par un même nombre, nous pourrons supposer qu'elle doit transformer en ellemême la forme quadratique X'-^y--h R-z'-.

Lès transformations qui jouissent de cette propriété sont les substitutions orthogonales eOectuées sur les variables .r, /, i\z; elles dépendent bien, dans le cas de l'édifice à deux dimensions, de trois paramètres arbitraires.

Les dé[)lacements ainsi défi.his conservent évidemment -les [^angles]; on peut se demander s'ils en conservent également le sens. C'est en s'aidant du schéma sphériquc que cette question s'étudiera le plus facilement.

Rapportons la sphère S du n** 125 à trois axes de coordonnées rectangulaires CÇ, G/), G^ passant par son centre, les axes GÇ et C-t\ étant respectivement parallèles aux axes O^r et Oy du plan II et l'axe G^ étant dirigé vers le point O.

Un calcul immédiat donne les coordotinées des points m et m' de lu sphère en fonctign de celles du point M du plan II sous la forme

V^2-4-JK--^- ^'^-

Le [déplacement] cayleyen se traduira alors par les formule»

T,'= a-i^ -+- ^>ir, -h CiÇ,

^'= a,^ -t- ôoTj H- C2 C,

qui correspondent, comme il fallait bien s'y attendre, à un déplacement euclidien sur la sphère.

Geci posé, nous savons qu'à chaque point de la sphère S correspond un point unique du schéma W situé d'un côté bien déterminé du plan qui le porte. Nous allons alors être conduits à distinguer deux cas, suivant le signe du module jji de la substitution :

igo CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GEOMETRIQUES ET MECANIQUES.

ï« {jL = H-i. Considérons autour d'un point m de la sphère une figure quelconque (/), les formules de la substitution lui font correspondre, autour d'un autre point m' de S, une figure (/') formée^ d'éléments égaux. La Géométrie euclidienne élémentaire nous apprend du reste que ces deux figures sont directement superposables; on peut, par un déplacement continu, les amener Tune sur l'autre. Les mêmes circonstances se présentent pour les figures (F) et (F') du plan II'.

a*' [jt = — 1. Les deux figures (/) et (/') ne sont plus directement superposables; par un déplacement continu sur la sphère, on peut amener la Qgure (/') en coïncidence avec la figure (/i), symétrique de (/) par rapport au point G. Sur le schéma classique, il en sera de même, on pourra amener la figure (F') dans une position (Fj) qui sera en regard de la figure (^F) mais qui ne coïncidera pas avec elle, car elle ne sera pas du même côté du plan. Il faudrait que nous puissions soit sortir du schéma, soit le traverser, [)our pouvoir établir la coïncidence.

Il y a donc analogie complète entre cette étude et celle que Ton peut, faire des figures égales dans l'espace euclidien classique.

On pourra du reste, ici aussi, mettre en évidence les trois paramètres dont dépend le [déplacement] en se servant soit des angles d'Eulcr, soii des paramètres d'Olindes Rodrigues {voir t. II, p. 38i).

135. Cas où l'absolu est réeL ^- Les considérations précédenlcs, qui se présentent d'une façon toute naturelle lorsque l'absolu est pseudo-réel, pourraient encore s'appliquer au cas d'un absolu réel, mais il faudrait alors faire intervenir des substitutions à coefficients imaginaires. Nous laisserons au lecteur le soin de faire les modifications nécessaires et nous nous contenterons de dire quelques mots des [déplacements] cayleycns sur le schéma de Poincaré étendu à l'ensemble du demi-plan.

Nous reprendrons les notations qui nous ont servi aux n"* 131 et 132. Dans le plan II du schéma classique, le [déplacement] se traduit par une transformation projective conservant l'absolu F; les points de cet absolu subiront donc sur lui une transformation homographique et il en sera de même des points du cercle V (qui se déduisent desi points F par une homothétie de rapport 2) et aussi des points de l'axe Ox transformé par inversion du cercle F' dans la seconde forme du schéma de Poincaré.

Sur ce dernier schéma, le [déplacement] se traduira donc par une transformation ponctuelle conservant les cercles orthogonaux à O^ (puisque ceux-ci représentent lès [droites] de Tédifice cayleyen) et se réduisant à une transformation homographique sur l'axe O^ lui-même.

Ceci va nous permettre de trouver très facilement les formules générales de la transformation. Soient en effet M un point du schéma de coordonnées x et jKj et Ml son symétrique par rapport a l'axe 0.2:. L'ensemble des cercles passant par ces deux points forme un faisceau linéaire ayant Ox pour base. Sur cette droite, ce faisceau aura deux points limites imaginaires dont les abscisses seront les nombres complexes ^ = x -+- iy et t' =^ x — iy.

CHAPÏTRE VII. — APERÇtJS DE GKOMÉTHIE CAYLEYBNNE. nji

Ûcsdfiux nombres complexes peuvent alors être regardés indifféremment ôomme les abscisses (sur la droite Ox) de ces points limites ou comme les af fixes (dans le plan) des points M et Mi.

Dans un [déplacement] amenant les points M et M| en M' et M',, le faisceau de cercles se transformera en un autre faisceau de cercles et le» abscisses Hes nouveaux points limites se déduiront de celles des anciens par une substitution homographique à c,oefficients réeJs.

L'effet du [déplacement] se traduira donc sur Taffixe du point INI par la formule

5^> ,^» Y» ^ étant des coefficients réels.

De là on peut tirer les formules de la transformation ponctuelle sous la

forme

^ aY(^^--t-jK-^)-+-(ao-t- '^:;)x -h [JS

(«8— HT)r

'({x--h y'^)-h -lyZx -^ù-

Cctte transformation du plan en iui-miême conservera les angles (puisque la relation entre t et t' est analytique); il fallait s'y attendre puisque les [angles] cayleyens doivent être conservés dans le [déplacement] et qu'ils sont représentés sur le schéma de Poincaré par des angles euclidiens. 11 y a lieu cependant de préciser ce point. Nous avons convenu, en établissant le schéma de Poincaré, de ne considérer que celui des deux points M et Mi dont l'ordonnée est positive.

Or si aô — '^^ "> o,y et y' sont de même signe, et le [déplacement] transformera tout point M du demi-plan supérieur en un point M' situé dans ce même demi-plan. Les angles d'une figure tracée au voisinage du point M seront alors directement égaux aux angles correspondants de la figure transformée.

Si, au contraire, aô — [iy < o, le point M se transformera ^.n. un point situé dans le demi-plan opposé, il faudra donc ramener ce derniei* dans le demi-plan supérieur en lui substituant son symétrique par rapport à Ox et le sens des angles se trouvera renversé par le [déplacement].

Ces particularités tiennent à ce que le [point] de Tédifice cayleyen est représenté en réalité par l'ensemble des deuxpoints M et Mi du schéma ; ce n'est que par Une convention arbitraire que nous pouvons faire jouer un rôle particulier à 1 un des points et nous ne pouvons pas établir cette distinction analytiquement.

Nous retrouvons donc bien ici encore les deux espèces de [déplacements] que nous avons déjà rencontrées dans les édifices à absolu pseudo-réel.

TABLE DES MATIÈRES