V. — LES DÉPLACEMENTS CAYLEYENS

l:»)). Généralités et définitiODS. — Nous n'avons pas l'inteniion de poursuivre davantage l'étude de l'édifice Cayleyen; mais, néanmoins, nous ne saurions terminer ce Chapitre sans dire un mot d'une de ses propriétés essentielles.

Les définitions que nous avons mises à lu base de nos considération» peuvent paraître bien aj'.bitraines et il est permis de se demander si l'on ne pourrait pas leur en s-ubsiituer d'autres conduisanl à des édifices logiques également intéressants.

La chose est effectivement possible,, mais Sophus Lie a montré que les définitions cayleycnnes des | distances] et des [angles] sont les seules qui conduisent à des édifices logiques admettant des [déplacements] po^sédantle même nombre dfe paramètres que les déplacements de i'édifîce euclidien (2).

C'est cette propriété fondamentale qui donne toute son importance à l'édifice cayleyen et nous tenons à en dire au moins quelques mots en renvoyant pour plus de détails à l'Ouvrage de Darboux.

Nous appellerons [déplacement] cayleyen toute transformation ponctuelle conservant les [distances]. Une telle transformation conserve les [lignes géodésiques], elle transforme donc les [droites] en [droites].

Raisonnons maintenant sur le schéma cayleyen classique; le [déplacement] se traduira par une transformation du plan en lui-même conservant les droites, ce sera donc une transformation homographique. De plus, cette transformation doit également conserver l'absolu puisque celui-ci correspond au lieu des [points à l'infini]. Réciproquement, il est évident que toute transformation projective qui conserve l'absolu laisse invariantes les [distances] cayleyennes.

(') Oa vérifiera de même que l'espace cayleyen à absolu réel a une courbure

constante négative égale à — — • On pourrait en donner un schéma dans lequel

les [distances] et les [angles] seraient représentés par des distances et des angles euclidiens, en le traçant sur une surface à courbure totale constante négative.

(-) Les définittôns euclidiennes peuvent du reste être regardées comme un ca» limite des définitions cayleyennes. L'absolu est alors dégénéré et se réduit, au point de vue langenticl, aux deux points cycliques {cf. Darboux, loc. cit.).