C.4LCUL TENSORIEL
18. Introduction. — Il est à peine utile de rappeler les progrès que le génie de Descartes a apportés à l'étiKie de la Géométrie (et par cela même à Fensemble de la Science) en mettant à sa disposition les procédés du calcul algébrique.
Les méthodes de la Géométrie analytique ne vont pas cependant sans quelque inconvénient. Même dans les problèmes les plus simples, le choix des axes est quelque chose de délicat; tel problème se traitera facilement en axes obliques, tel autre aura une solution particulièrement élégante avec un tétraèdre de référence heureusement choisi. Il n'existe pas de règles absolues guidant vers le meilleur choix.
D'autre part, ces axes, ces systèmes de référence sont évidemment superflus; les lois de la Géométrie, de la Mécanique, de la Physique ont une existence intrinsèque indépendante du système de coordonnées dans lequel on les étudie.
Il était donc tout naturel d'essayer de s'en débarrasser et plusieurs essais ont été faits dans ce but.
On a cherché d'abord à raisonner directement sur les êtres géométriques ou physiques. Pour fournir une base aux raisonnements déductifs, on leur a fait correspondre des éléments simples d'un schéma euclidien et l'on a défini sur ces éléments des opérations dont on a étudié les propriétés. Ce procédé a conduit à un chapitre important de la Science ; le Calcul vectoriel.
Mais celui-ci, quelle que soit son importance pratique, ne résout pas entièrement le problème posé. Il s'adapte très bien à l'étude des propriétés mécaniques et physiques de l'espace euclidien à trois dimensions. Les opérations qu'on y définit entre les
22 CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GÉCTM ÉTRIQUÉS ET JIÉCANIQLES.
êtres vectoriels sont peu nombreuses, leurs propriétés sont simples, faciles à établir et à appliquer.
Il n'en est plus du tout de même pour des espaces à un nombre élevé de dimensions, surtout s'ils ne jouissent pas de propriétés euclidiennes. Quelques essais ont été faits pour y généraliser le calcul vectoriel, mais alors le symbolisme devient exlrêiiiemenl complexe, les opérations sont multiples et leurs propriétés (iif(iciles à retenir.
Un autre essai a alors été fait dans une voie dillérente. Ici on va conserver le système de référence, mais au lieu de chercher la simplification de tel problème donné en' le choisissant avec plus ou moins de bonheur, on évitera systématiquement cette particularisationet l'on n'écrira des équations que sous une forme valable dans n'importe quel système de coordonnées. On trouve déjà une tentative de ce genre dans l'emploi des équations abrégées en Géométrie analytique, emploi qui a « onliibué si heureusement au développement de la géométrie moderne. Mais là, les systèmes de référence restaient rectilignes (axes ou tétraèdres de référence). Ici au contraire on recherchera des méthodes s'appliquant A des systèmes de coordonnées curvilignes quelconques.
C'est ce dernier essai qui, systématiquement développé, a conduit au Calcul différenliel absolu ou Calcul tensoriel.
La théorie que nous allons exposer a pour bases des travaux de Christoffel et de Riemann (qui en réalité ont été poursuivis dans un but différent) et surtout un Mémoire fondamental de Ricci et Levi-Civita, Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications {Math. Ànnalen, Bd o4, 1900).
Pour une bibliographie détaillée, nous renverrons à l'Ouvrage de M. Lecat, Bibliographie de la Belativité^ Bruxelles, Lamertin.
Parmi les Ouvrages didactiques récents traitant du même sujet, nous nous contenterons de signaler les suivants :
H. Weyl, Temps, Espace, Matière, traduit sur la quatrième édition allemande par G. Juvet et R. Leroy, Paris, Albert Blanchard.
A. -S. Eddington, Espace, Temps et Gravitation, traduit de l'anglais par J. Rossignol, Paris, Hermann.
