CHAPITRE I. — FORMES LINEAIRES ET QUADRATIQUES. I

Il s'ensuit également qu'à une racine simple de l'équation en S correspond une direction principale réelle, unique et bien déterminée et qu'au contraire à une racine multiple d'ordre/? correspond une infinité de directions principales réelles formant une multiplicité linéaire à/> dimensions (* ).

Remarque. — En particulier, si l'équation en S admet la racine S = o avec l'ordre de. multiplicité/», le rang du discriminant A de la forme quadratique se réduit à n — p et par suite celle-ci est décomposable en une somme de n — p carrés indépendants.

Il seniblerait donc que, pour exprimer que la forme quadratique est décomposable en une somme de d^ = /i — ^carrés indépendants, il faille écrire /? = w — q conditions en annulant les p derniers coefficients de l'équation en S développée. Or nous avons démontré plus haut que le

nombre des conditions à écrire était de ^-^ Cette contradiction appa-

rente provient du fait que certaines des conditions écrites sous la forme nouvelle que nous mentionnons ici peuvent se décomposer en plusieurs autres. Par exemple, le coefficient de la première puissance de S dans l'équation est égal, au signe près, à la somme de tous les mineurs médians d'ordre n — i du discriminant; si ce discriminant est nul, ces mineurs sont tous de même signe et écrire que leur somme est nulle revient à écrire qu'ils le sont séparément {^).

16. Réduction d'une forme quadratique à la forme canonique par une substitution orthogonale. — Il sera maintenant toujours possible (peut-être même de plusieurs manières) de déterminer un n-èdre rectangulaire réel conjugué par rapport à la quadrique. Pour cela, on partira d'une direction principale correspondant à une racine (simple ou multiple) de l'équation en S. On fera un changement d'axes n;ctangulaires en prenant

pour nouvel axe des x^ la direction en question. L'équation de la quadrique

(') Il y a lieu de bien préciser que ces considcrations ne s'appliquent qu'au cas où la forme quadratiijue est à coefficients réels; s'il n'en était pas ainsi, il pourrait se faire que l'équation A (S) = o ait par exemple une racine double qui n'annule pas tous les mineurs d'ordre n — i. Il lui correspondrait alors une seule direction principale. Par exemple, la forme quadrali(jue x"^ -\- 1 ixy — ^- conduit h une équation en S qui admet la racine tloubie S = o, sans (jne les mineurs du premier ordi'e s'annulent pour celte valeur de S. Il n'y a pour elle c\Wunc seule direction principale, isotrope, de paramètres directeurs i et i.

(*) C'est ainsi qu'une forme quadratique à trois variables se réduira à un carré parfait unique si l'on a, avec les notations habituelles, le^^ trois conditions

AB — B' B' = A' B' — B B = A" B" — BB' - o, nombre qui correspond bien a la tojniuic — ^-- ■ •

■20 CALCUL TENSORIEL. APPUCATIONS GEOMKTRIQUES ET MECANIQUES.

se ramènera à

Ai(x1 Y ■+■ o{x-^ X^, , . . , Xn) == I.

(On vérifiera du rsete immédiatement que le coefficient Ai est égal à la racine considérée de l'équation en S>)

Ceci posé, dans la multiplicité an — i dimensions d'équation x^ = o, on

opérera de même sur la forme quadratique o{x^, x^, ..., x'^)\ en répétant ce procédé de proche en p»oche, on déterminera un /i-èdre rectangulaire Oy^, Oy^y ..., Oy", conjugué par rapport à la quadrique et dans lequel Téquation de celle-ci prendra la forme

17. Réduction simultanée de deux formes quadratiques à leurs formes canoniques en axes quelconques. — Soient deux formes quadratiques F (x) et G (rr), on peut toujours par une substitution linéaire (qui

n'est pas forcément orthogonale) x = T x ramener la première à la forme

(Ii)V(^«)V...+ (^0'.

Une substitution orthogonale quelconque x = Vx efTectuée ensuite laissera celte expression invariante; on pourra alors la choisir de telle sorte que la forme G soit ramenée à la forme canonique.

La substitution V=-TU, produit des deux précédentes, donne donc une solution du problème posé.

Au point de vue géométrique, ce problème revient évidemment à la recherche d'un n-èdre conjugué commun par rapport aux deux quadriques

d'équations

F(;r) = i et G{x) — ï.

( ^ ) Ce procédé s'appliquerait aussi aux formes quadratiques à coefficients complexes, sauf dans le cas où l'on rencontrerait une direction principale isotrope; il est en effet iuipossibie de compléter une telle direction par « — i autres directions qui lui soient perpendiculaires et qui forment avec elle un véritable /i-èdre. On peut du reste démontrer que de telles directions principales isotropes ne peuvent pas exister si réquation en S n'a que des racines simples.