I. — DÉFINITIONS GÉNÉRALES

19. Généralités. — Tout système de n variables indépendantes .2?'(f = i, 2, ..., /i), occupant un certain domaine, est dit constituer une multiplicité ou une variété à n dimensions (-).

Pour la commodité du langage, nous emploierons une image géométrique classique et nous dirons que chaque système de \aleurs numériques données aux x*^ détermine un point (x) de la multiplicité dont ces nombres sont les coordonnées.

Si l'on remplace les variables x^ par de nouvelles variables x^ (en même nombre) liées aux anciennes par certaines relations, on dit que l'on a effectué sur les premières variables une transformation

qu'on représentera par le symbole T = (^% x^).

Nous supposerons que les variables restent dans des domaines respectifs tels que les fonctions définissant la transformation (donnant par exemple les x^ en fonction des x^j soient uniformes, continues et dérivables autant de fois qu'il nous sera nécessaire et

que de plus le déterminant fonctionnel — 7=^ reste fini et différent

(') Signalons encoie un ouvrage de T. Lkvi-Civita, Calcoio dij/eren^kiie assoluto, paru pendant que le présent ouvrage était à l'impression.

(') Le lecteur reconnaîtra clairement un peu -plus lard les raisons qui nous conduisent à placer les indices tantôt en haut, tantôt en bas. La confusion, possible et dont ri faut se garder, entre les indices -supérieurs et des exposants ne serajanvais à craindre par la suite.

Comme nous tenons à ce que le Chapitre I soit indépendant du reste de l'Ouvrage, nous ne craignons pas de répéter ici certaines définitions qui y ont déjà été données.

de zéro; on pourra alors définir de façon univoqiie la transformation inverse T~' = (x^^ x^).

Considérons maintenant deux transformations T et T, répondant aux conditions précédentes; la première T, appliquée aux

variables j?', permettra d'en déduire de nouvelles variables x^ et la deuxième T,, appliquée à ces dernières, en déduira une troisième

série x^. La transformation qui permettrait de passer directement des variables x^ aux variables x^ s'appellera \g produit des transformations T et T| et se représentera par la notation T.Ti = (^% j?'j.

Cette multiplication n'est pas en général commutative.

On dira qu'un ensemble de transformations (en nombre fini ou infini) forme un groupe si les produits de deux transformations quelconques de l'ensemble (ainsi que les inverses de ces transformations) en font aussi partie. Cette dernière condit on implique que l'on considère comme faisant aussi partie du groupe la transformation identique qui laisserait les- variables inchangées.

Nous supposerons essentiellement par la suite que les transformations que nous envisagerons forment un groupe.

20. Système de fonctions attaché à un point de la multiplicité. — Soit maintenant, dans un système de variables déterminé J?% un point {x) de la multiplicité et considérons un ensemble de fonctions / en nombre quelconque, fonctions qui pourront du reste être définies dans toute la multiplicité ou seulement en certains points plus ou moins isolés.

Un tel ensemble s'appellera un système de fonctions attache au point (x).

Il y a lieu de préciser les conventions suivant lesquelles on transformera un tel système lorsqu'on effectuera sur les variables

une transformation T = (j?', x^ ).

Le problème ainsi posé est largement indéterminé, mais néanmoins la transformation S, correspondant à T, qu'il faudra faire

subir au système / pour en déduire le nouveau système f doit satisfaire à certaines conditions logiques.

i® Si la transformation T se réduit à la transformation identique, il doit en être de même de la transformation S.