CHAPITRE JI. — CALCUL TENSORIEU

2° Si T se trouve être le produit de deux transformations du groupe, T, et T2, S doit être également le produit d<\s iransformations correspondantes S| et S^.

Nous appellerons ces deux conditions les conditions ((^); elles laissent le choix entre une infinité de transformations S possibles^ mais certaines d'entre elles se sont imposées si naturellement que leur étude s'est condensée en un corps de doctrine : le calcul tensoriel.

21. Transformation par invariance. — Le premier pr(jcédé qui se présente à l'esprit consiste à remplacer simplement dans les fonctions / les variables x'^ par leurs expressions en fonction des variables a?% on obtient ainsi de nouvelles fonctions / liées aux premières par des relations du type

On dira alors que les fonctions/ ont été transformées par invariance ou encore que ce sont des invariants par rapport à la transformation T.

Il est évident que les conditions (G) sont remplies (^).

22. Autres procédés de transformation. — Mais il y a d'autres transformations S également naturelles. Supposons par exemple que le système/ soit formé de n fonctions qui soient les dérivées partielles premières par rapport aux variables ^' d'une même fonction : /f= 7^> il paraîtra tout indiqué de transformer par invariance la fonction o en une fonction cp et de faire correspondre aux// les dérivées partielles de o par rapport aux xK On aura ainsi

(') Il est bon de remarquer que ce mot d'invariant a aussi un autre sens plus restreint en mathématiques. On le l'éserve souvent au cas où la fonction f\x^) se déduit des x' par les mêmes opérations que celles qui permettent de déduire la fonction /(j^') des x\ C'est par exemple dans ce sens qu'on dira que l'expression ^--f-y'-f-c' est un invariant par rapport aux substitutions orthogonales effectuées sur les variables x, y, z.

(^) En calcul vectoriel, le système/, est alors dit le gradient du scalaire f .

De même, la façon dont se transforment les différentielles des variables dans la transformation T nous donne une nouvelle svibstitution S, également naturelle et définie par les formules

rz=n

dx^= 7 -ç—dx'',

Le lecteur vérifiera sans peine que, pour cette transformation comme pour la précédente, les conditions (G) sont encore satisfaites.

Ce sont ces deux transformations naturelles que nous prendrons comme base; mais, auparavant, indiquons les notations que nous emploierons par la suite ainsi qu'une importante convention dont nous ferons constamment usage.

23. Notations. — Pour la rapidité de l'écriture, nous représenterons les dérivées partielles des variables par les notations suivantes :

. , dx^ ,. âx^ — ;

(i) -=- = X). et -T — = x'...

dxr - OX'-

24. Convention de sommation. Indices muets. — Dans les formules que nous venons d'écrire dans les paragraphes précédents figure un signe de sommation étendu à toutes les valeurs i, 2, . . ., /i prises par un indice r figurant deux fois dans le monôme constitutif du second membre.

Nous consiiendrons essentiellement^ chaque fois qu^il en seraainsi^ de supprimer le signe correspondant de sommation^ et inversement^ chaque fois qu^un monôme contiendra deux fois un même indice^ à moins d* indication contraire^ la sommation devra être effectuée pour toutes les valeurs de cet indice allant de i à n (*).

(') Cette convention de sommation qui peut paraître on peu artificielle est au fond extrêmement importante. Elle se justifiera d'elle-même par sa commodité, car on constatera, comme le dit M. Eddington, qu'elle donne toujours aux calculs une impulsion dans un sens favorable.

CIIAPITBE II. — CALCUL TENSORIEL. 27

D'après cela, les formules que nous avons écrites précédemment deviendront

fi=z x''-/,. (pour le gradient d'un scalaire) et

dx\:=. x\. dx^' (pour les différentielles).

Nous condensons ainsi deux groupes de n formules distinctes contenant chacune n termes aux seconds membres.

De tels indices de sommation s'appelleront des indices muets; on peut évidemment changer le nom de tout indice muet et, ])ar <^xemple, la première des équations précédentes s'écrit tont aussi bien

li=^)f. (S.

Comme nous le verrons plus loin, tout indice muet occupera dans un monôme (sauf de rares exceptions) une fois la position haute et une fois la position basse.

25. Relations entre les dérivées partielles x\. et x^^. — Si nous

reprenons les expressions des différentielles totales des variables, nous pourrons écrire les deux groupes de formules

dx^ = x]. dx'\ dx^=x^dx^.

Les deuxièmes résulteraient du reste de la résolution par les formules de Cramer des équations du premier groupe, résolution certainement possible d'une façon unique puisque le déterminant fonctionnel est différent de zéro.

Si l'on élimine entre ces équations les quantités dx^, on devra tomber sur des identités

\XOC — ~ Ou f »A/ ^ %JL30 -

ce qui implique immédiatement

o si 5 ^ î,

I SI S = l.

(') Il y a là quelque chose de tout à fait analogue au fait que dans une intégrale déûaie le nom de la variable d'intégration n'a aucune importance.

lS CALCUL TENSORUÎL. APPLICATIONS (iÉOMÉTRIQUES ET MECANIQUES.

De même, en éliminant au contraire les t/.r', on trouverait les

relations suivantes :

o si s^ f,

SI s = l.

Ces relations ne sont du rest« que les identités bien connues déduites du développement d'un déterminant par ra[)port à ses lignes ou à ses colonnes.

Si nous convenons, comme il sera commode, d'appeler oj une quantité égale à i ou à o suivant que i est égal à s ou différent de 5, les formules précédentes (qui seront fondamentales pour la suite) s'écriront

0 si * p^ if

1 si s = i ( * ).

x',.2c'g=^ x',.x'^= ^ji avec 8^ =

26. Systèmes tensoriels du premier ordre. — Par définition, nous appellerons système lensoricl covariant du premier ordre tout ensemble de n fonctions A,, attachées au point (x) et se transformant comme le gradient d'un scalaire, c'est-à-dire d'après la loi

A,.= ^P.Ap.

De même, nous appellerons système tensoriel cojitrevariûnt du premier ordre tout ensemble de n fonctions A'" attachées au point [x) et se transformant comme les différentielles des variables, c'est-à-dire d'après la loi

Le caractère covariant sera toujours indiqué par un indice inférieur^ le caractère contrevariant toujours par un indice supérieur {^).

(*) Il faut écrire 5^. = i si s = i, et non o{= i, ce qui sei'^il inexact à cause de la convention de sommation (6^= n).

(-) Il pourrait paraître pins logique d'appeler systèmes covariants ceux qui se transforment d'après la loi (4), c'esl-'à-dirc qui varient comme les variables fondamentales.

En réalité, la notation dont nous nous servons ici (et qui est à peu près universellement adoptée) a pris naissance dans la géométrie linéaire. Expliquons-le en deux mots en nous plaçant dans l'espace ordinaire à trois dimensions.

Pour repérer dans l'espace linéaire un vecteur (V) d'origine O, on mène par O