CHAPITRE II. - CALCUL TBNSORIEL
la démonsiralion est également immédiate :
(.5) [v]=-îM-
44. Transformation des symboles de Christoflfel dans un changement de variables. Formules de Christoffel. — Si nous cherchons les équations différentielles des lignes géodésiques dans un autre système de variables jc', elles s'écriront évidemment de la même façon que les équations (9") et formeront un système équivalent.
Cette remarque va nous permettre de trouver les relations qui existent entre les symboles de Christoffel calculés dans les deux systèmes de coordonnées.
Partons en effet des équations (9") sous la forme
d^œf \r s) dx'- dx-^
~ds^ '^ \ i [HT IT "^^
et faisons-y le changement de variables \x^, x^) ; nous aurons successivement
dx^ I dx9 'dl^-^~di\
d'^x' i d'^x9 i dx9 dx^
en posant par une notation analogue à celle des dérivées premières
— — rr"- ♦ àxP dx^
Les équations en question deviennent alors
i d^xP r ^ i ' "^ I ;• il ^"^P ^^'^
[fp--^|'V|5<]
Multiplions encore ces équations par x] (avec sommation par rapport à / devenu indice muet), elles deviennent
^î^t |-^ ^ — T „ , i r 5 )~| dxP dx^
ds^ L"'/-P<r ' -^/-P-*^ ( I, \\ ds ds
En comparant avec les équations différentielles des géodésiques
écrites dans le système x'- :
ds"^ ' \ X \ ds ds '^'
on a entre les symboles la relation
(i6) 1^^ |=^J5<j'^-| -^-^Jf^^ (0.
Ces formules fondamentales portent le nom de formules de Christoffel. On les écrit souvent sous une forme un peu diflérente en multipliant les relations précédentes par x^^ (avec sommation en t), ce qui donne immédiatement
(i6') - ÎTp/| =fp^^|'^/|-^fpT(')•
7?em<7/•(7^/e5. — i** Les symboles de Christoffel ne sont pas des systèmes tensoriels et la place des indices n'a aucune signification de covariance ou de contre variance. Les formules de transformation que nous venons de trouver ne coïncideraient avec des équations de transformation tensorielle que si les dérivées partielles secondes xi^^ étaient nulles, c'est-à-dire si l'on se bornait au
groupe des substitutions linéaires. Dans ce cas seulement^ les symboles de deuxième espèce seraient covariants par rapport aux indices supérieurs et conlrevariants par rapporta l'indice inférieur et d'après (i5) les symboles de première espèce seraient covariants par rapport à tous leurs indices.
(') Dans ces formules, le trait surmonti*nt les symboles sert, comme cela a toujpurs eu lieu jusqu'à présent, à distinguer les quaatités calculées dans le système des variables pc' de celles calculées dans le système des variables x'.
(') Ces formules ont été trouvées par Christoffel, par une méthode différente, dans un Mémoire consacré à réquival'ence des formes quadratiques {Journcd de Crelle, t. LXX, 1869). Christoffel se donnait a priori deux formes quadratique» de différentielles et cherchait à quelle» conditions on pouvait trouver un changement de variables permettant de passer de l'une à l'autre. Nous aurons l'occasion d'étudier ce problème dans un cas particulier; le lecteur pourra du reste se reporter, en plus du mémoire original que nous venons de citer, â Bianchi {Lezioni di geometria differenziale, 3» éd., t. I, 1922) où le cas dessurfaces (n = 2) est plus spécialement approfondi.
