CHAPITRE II. — CALCUL TENSORIEL
dire, dés que les conditions (9) seront vérifiées, que la longueur /
est statioîinaire et nous donnerons encore par extension le nom
de géodésique à la ligne L correspondante.
Il est maintenant facile d'expliciter les relations que nous venons
de trouver, en remplaçant la fonction ^ par sa valeur; elles
deviendront
d / dx^^'X dgrs dx'' dx^ __
dsy^'''~dr)~ ~d^ 1J 'dT"'^
ou bien
d^x^ dgiii dxi^ dx^ I dgrs dx'^ dx^ __
^'* is^'^ Jxf^ 17 ~ds " ~i 'à^ ~d7 ir ~^' ^^'
Or, le deuxième groupe de termes de cette équation s'écrit successivement, par changement du nom des indices muets,
dgi/c dxfi dx^ agir dx^ dx'' <Jx'^ ds ds ~ àx^ ds ds
— ^^^> ^^ ^El — il ^^^'' -4- ^£i£ \ ^^'' ^
""" âx^ ds ds ~' 2 \ dx^ dx^ ) ds ds *
ce qui donne aux équations des géodésiques la forme
d^x^ I (agir , agis àgrs\ dx'' dx^
ou encore
ds"^ ' \ i \ ds ds en convenant de poser
^'"^ «^52 "^ 2 V àx^ àx>- dxi ) ds ds ^
d'^x''^ \ r $'\ dx'- dx^ (9) Si^—^-^[ i J-^ "=«'
[ î J 2 \ dx^ dxf dxi
Enfin en multipliant les équations différentielle^ (9') par o-i'^( multiplication suivie automatiquement de sommation par rapport à { . devenu indice muet) on leur donnera la forme
, „^ d^x^ [^ s) dx'- dx^
en convenant de poser
On obtient ainsi un système de n équations différentielles du
(') Ne pas confondre 4- indice avec 5 longueur d'axe.
44 CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUEg ET MÉCANIQUES.
second ordre caractérisant les géodésiques. En réalité, parmi ces équations, n — i seulement sont indépendantes, car en les prenant
sous la forme (9), en le;s multipliant respectivement par -^ et en faisant les sommations implicitement contenues dans notre convention d'indices muets, on trouve un résultat identiquement nul, en vertu de la relation
qui exprime que s est l'arc de la courbe.
En éliminant ds entre cette dernière relation el n — i des équations précédentes, on obtient un système àe n — i équations différentielles du second ordre, permettant de déterminer n — i des inconnues a?^ en fonction de la /i'^""*. L'ensemble des courbes intégrales dépendra ainsi àe 2 n — 2 paramètres.
43. Symboles de Christoffel. Leurs propriétés. — Les expressions que nous venons d'être conduits à introduire et dont nous répétons les formules de définition
portent le nom de symboles de Christoffel de première et deuxième espèce (*).
Ces symboles jouissent tout d'abord des» deux propriétés de symétrie évidentes caractérisées par les équations
En plus, on peut encore noter les deux formules suivantes dont
(*) Il ne faut pas se fier à la simplicité apparente de formules telles que celles-ci. Ce qui est donné, ce sont les fonctions g-,^ des variables x'; les syml>oIes de première espèce sont donc d'un calcul simple; au contraire, ceux de deuxième espèce nécessitent le calcul, souvent assez long, des g''', et le nombre des termes contenus dans le membre de droite de la seconde formule peut être considérable puisqu'il représente une somme étendue à toutes les valeurs î = 1, 2, 3, , . ., n de l'indice muet i.
