V. - ANALYSE TENSORIELLE
45. Objet du paragraphe. — Dans les paragraphes précédents, nous nous sommes toujours placés à un point de vue purement local; les tenseurs sur lesquels nous raisonnions étaient essentiellement attachés au même point de la multiplicité. Jusqu'à présent cela n'a pour nous aucun sens de parler de tenseurs égaux ou inégaux lorsqu'ils sont attachés à des points dififérents.
Prenons par exemple deux systèmes covariants du premier
ordre :
Ar attaché au point P de coordonnées a?',
On pourrait être tenté de dire qu'ils définissent deux tenseurs égau-x si les composantes de même indice sont égales; mais cette définition est évidemment vicieuse, car elle ne se conserve pas dans un changement de variables.. Avec d'autres variables en. effet on aurait
Âr=:fPAp et Â;. = £>Ap,
et l'égalité de Ay. et de A^ n'entraîne celle de A^ et de A'^ que si les dérivées partielles ^P et ^/, prises respectivement au point P
et au point P' ont des valeurs égales; cela se produit en particulier si Ton se borne à des substitutions linéaires sur les variables, mais cela n'a pas lieu dans le cas général.
Pour approfondir cette question, conformément à l'esprit des méthodes de la géométrie infinitésimale, nous allons chercher à comparer deux tenseurs attachés à des points très voisins, ce qui nous conduira à la notion fondamentale de dérivation tensorielle.
Champ de tenseurs. — Nous supposerons que, dans un certain domaine de la multiplicité, nous ayons défini un tenseur dont les composantes des différents types soient des fonctions continues et pourvues de dérivées des coordonnées du point auquel le tenseur est attaché. Nous appellerons un tel ensemble un champ de tenseiu's.
46. Dérivation covariante. — Si nous considérons en particulier un champ d'invariants, aucune difficulté ne se présente pour en comparer la valeur en des points voisins; l'invariant aura la valeur y au point P(j:'), la valeur /-j-t^/* au point ï*' [x^ -\- d x^) et l'accroissement
est lui-même un invariant; l'opération de la dérivation partielle ordinaire met donc en évidence un nouveau système tensoriel covariant du premier ordre qui sera dit dérivé de V invariant.
Mais ce procédé simple ne s'applique plus dès que l'ordre du système considéré est supérieur à zéro; dans le cas d'un système covariant du premier ordre par exemple, le raisonnement que nous venons de faire quelques lignes plus haut montre que les accroissements de ses composantes n'ont aucune signification indépendante du système des coordonnées.
Il en est de même naturellement des dérivées partielles ordinaires qui se transforment d'après la loi
Il y a cependant lieu de remarquer que ce procédé met en évidence un système tensoriel bien connu, doublement covariant,
CIJAPITRB II. -— CALCUL TKNSORIEL; 49
de composantes
dx'^ àx'' '
qui est le rotationnel du système primitif; mais là encore il s'agit d'une propriété particulière, spéciale aux systèmes covariants du premier ordre.
Pour définir d'une façon intrinsèque un procédé de dérivation général, nous opérerons de la manière suivante.
Système coloriant du premier ordre. — Soit un système covariant du premier ordre de composantes A^; nous joindrons les points P et P' par un arc de géodésique de longueur très petite que
nous orienterons dans le sens PP'; les paramètres directeurs —jde la tangente en un point de cette géodésique forment, Comme l'on sait, un système tensoriel contrevariant. Nous formerons alors
l'invariant
, dx''
Dans le passage du point P au point P', cet invariant subira l'accroissement
dx'' ,. . d^x'' ,
qui a lui-même un sens indépendant des variables. Or, le long de la géodésique considérée, on a
d'^xf [k X) dx^ dx^
et i'accroissemeni ci-dessus peut encore s'écrire (en permutant dans le dernier terme les indices muets /• et A)
,/, dx'^\ Vdk,. \k r } . 1 dx'- dx>^ , \ ds I yox^ { X ( ] ds ds
Il S'ensuit que les expressions
^07* '" àxr- '^l X \ '^^'
coefficients des termes en d.v^ dx^ dans la formule précédente,
5o CALCUL TENSORÎBL. APPLICATIONS ÛËOMÉTRIQDES ET MÉCANIQUES.
constituent un système tensoriel covariant du second ordre (voir page 34? note i).
Mais d'autre part, comme nous l'avons remarqué plus haut, les diflérences
àkr àA.;( dx^ dx''
forment aussi un système de même type et nous en déduisons par addition qu'il en est encore de même pour les expressions
<'7) ^*A,= ^-p-j ^ ,Ax.
Nous appellerons les fonctions qui composent ce système les dérivées partielles covariantes des fonctions Ar (*).
Si, en un point déterminé du champ, toutes ces dérivées covariantes se trouvent être nulles, nous dirons que le système A^. est stationnaire au point considéré.
Système contrevariant du premier ordre. — Prenons maintenant un système contrevariant du premier ordre A''; nous ferons choix d'un système covariant Ç^ quelconque mais stationnaire au point P et nous formerons l'invariant A'' ^r-
Son accroissement, dans le passage de P à P , s'écrira successivement
Cette égalité, qui a un caractère tensoriel quelles que soient les valeurs des fonctions ^r au point P, met en évidence le système tensoriel mixte (■8) i,A^=+| ^ |aX
dont les composantes seront encore les dérivées partielles covariantes des fonctions A''. Le système contrevariant sera de même dît stationnaire au point P si toutes les expressions A^fxV sont nulles en ce point.
(*) Certains auteurs représentent ces dérivées covariantes par la notation | Ar//t| ou même A j ; nous préférons celle ci-dessus (employée par M. Galbrun) qui met mieux en évidence le rôle particulier joué par l'indice k de dérivation.
