CHAPITRE II. — CALCUL TENSORIEL. 5l
Système tensoriel quelconque. — Enfin nous passerons facilement àe là au cas général. Montrons-le sur un exemple et prenons un système mixte du troisième ordre du type A'^^.
Nous choisirons trois systèmes du premier ordre Sr? ^^j 'Qt arbitraires mais tous trois stationnaires au point P.
Nous formerons encore l'invariant ATg^^rfi^t,^ dont l'accroissement s'écrira
ce qui met en évidence le système tensoriel
dont les composantes seront par définition les dérivées partielles covariantes des fonctions A^^ ( ' ).
Remarques. — i^ La formule (19) contient naturellement comme cas particuliers les formules (17) et (18) en supposant que certains indices viennent à manquer; on peut même encore l'appliquer à un invariant, en convenant qu'alors la dérivation covariante coïncidera avec la dérivation partielle ordinaire.
2** S'il existe un système de variables particulier dans lequel les gik soient des constantes, et que l'on opère dans ce système, les symboles de GhristofFel seront naturellement nuls et, quel que soit le système tensoriel considéré, la dérivation covariante se réduira à la dérivation partielle ordinaire.
3® Il est bon de remarquer que la dérivation covariante n'est définie que si la forme quadratique fondamentale est donnée, il
(') Le lecteur pourra vérilier, à titre d'exercice, en partant des formules (6) et enc se servant des formules de Christofï'el, que le système ( 19) présente bien le caractère tensoriel covariant par rapport aux indices k:, s, t, contrevariant par rapport à l'indice r.
5l CALCUL TBNSORIËL. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES ET MECANIQUES.
serait par suite plus correct de l'appeler dérivation covariante selon la forme quadratique gik dx^ dx^.
47. Propriétés générales de la dérivation corariante. — Une première remarque évidente consiste dans le fait que ce procédé de dérivation covariante, appliqué à un champ de systèmes tensoriels dont les composantes sont constantes, ne- conduit pas à un système dérivé identiquement nul. Il n'y a du reste rien là qui doive nous étonner puisque nous avons déjà remarqué que la propriété pour un système d'avoir des composantes égales en deux points différents de la multiplicité n'était pas indépendante du système de coordonnées.
Dérivée d'un produit extérieur. — Cette dérivée s'obtiendra par la même règle que pour la dérivation ordinaire.
Prenons par exemple un système tensoriel du troisième ordre
on aura successivement
La dérivation covariante et la contraction sont deux opérations permutables. — En effet, partons par exemple du système A^^^ par dérivation il devient
dS.
ôx
Faisons maintenant la contraction r:=zt^\ç, deuxième et le quatrième terme, qui ne diffèrent que par les noms des indices muets qui y figurent, se détruisent et la formule précédente se réduit à
