CHAPITRE lï. — CALCUL TENSORIEL

Nous démontrerons plus lard la réciproque, c'est-à-dire que si le tenseur de Riemann-Ghristoffei est identiquement nul, on peut toujours trouver un changement de variables ramenant les »,> à être des constantes.

2** Le tenseur de Riemann-GhristofFel rentre dans la classe des tenseurs fondamentaux, en ce sens qu il est formé à l'aide des coefficients de la forme quadratique fondamentale et de leurs dérivées, li y a lieu de remarquer qu'en général de tout tenseur on peut déduire par dérivation un tenseur d'ordre supérieur d'une unité. Mais ici, le théorème de Ricci montre que les tenseurs ainsi déduits des tenseurs fondamentaux du second ordre sont identiquement nuls. Ce n'est que par un détour que nous avons pu trouver un tenseur fondamental nouveau.

3® Le tenseur de Riemann-Ghristolïel dépend des ^va, de leurs dérivées partielles premières et secondes, et ces dernières y entrent de façon lini'aire.

51. Propriétés du tenseur de Riemann-Christoffel. — On vérifie immédiatement sur la formule (^3) les deux propriétés suivantes :

V *^.PyS-+- l^.YOp-<- *^.6pY= o-

Passage aux composantes entièrement covariantes. — En abaissant l'indice a par la formule

on obtient les composantes entièrement cosariantes du tenseur, composantes sur lesquelles se mettent en évidence des propriétés de symétrie plus complètes.

Nous allons auparavant expliciter et modifier légèrement la formule (2 5) qui s'écrira successivement (*) i

(') Dans les formules suivantes, nous représentons par le signe Tk l'ensemble

(on a permuté dans le dernier terme les noms des indices muets \

etfx)

#\ ] I uu, t L ^ J I

ou encore, d'après (14)5 (26)

ou enfin

L « J \P ^àj pg-ax rx y]]

àxy ( X i [^^Y ' L a JJ

près (i4), R « — L « J jP Sj fa T]

L « J , iP T) r^ ôi

En explicitant les dérivées partielles des crochets de première espèce, on peut encore écrire

f26') R n, - ' F -^VcS «^V^^. <^^^c.Y , à^m 1

(26") R « ,^ ^ r ^'^0^^ ^'^Pg ^'^«r ■ ^yprl

°''^^^ 2 I àx^ ôxl Ox^ àxl àxP àx^ dx^ dx^\

Propriétés de symétrie des composantes covariantes du tenseur de Riemann-Christoffel :

il. RaPY8 = -- RapSy [résulte de (24)],