CHAPITRE II. — CALCUL TENSORIBL

pour dérivé tensoriel le tenseur (AA) ayant pour composantes des différents types les systèmes A,A,, AçA', A^A^., A^A' (').

VI. — DÉRIVATIONS COVARIANTES SUCCESSIVES. TENSEUR DE RIEMANN-CHRISTOFFEL.

50. Inûuence de l'ordre des dérivations. — On peut appliquer plusieurs fois de suite le processus de la dérivation covariante, on obtiendra ainsi des dérivées d'ordre supérieur et il est tout naturel de se demander quelle est l'influence de l'ordre des dérivations.

Lorsqu'on part d'un invariant, on voit tout de suite que les dérivées secondes sont indépendantes de l'ordre dans lequel on effectue les deux dérivations; on a en effet

et par suite

et le second membre est évidemment symétrique en /' et s.

Au contraire il n'en est plus de même quand on part d'un tenseur quelconque. Pour le montrer effectuons le calcul dans le cas d'un système covariant du premier ordre A^. On aura

puis

àkr \r si

A,(A,A,)=— — Aj,Ar- [^s^^

dxt ] IL ("^ ( H^ r •"

ou encore

tJ àKr i s i l \ ^' (i

Ax

(*) Remarquons, sur ce cas particulier du tenseur du premier ordre, que si ie

I t'A, ôX.^ , . . , , . ,

rotationnel -j— ^ — -r— ^ est nul en un point, le tenseur dérive en ce point est

symétrique (A, A^=: A^ A^ ).

56 CALCUL TENSOniEL. APPLïCATJONS GBOMÉTRIQUBS ET MBCANIQUBS'

De même, en permutant 5 et /,

^ s } àkr ^ \t S i \r fji

dxV- ^\ fx ( i X i^^"

y |x i ^^^ "^j fx i ( X p^-

En formant la difîerence, on voit tout de suite que les termes surmontés d'un même nombre d'astérisques se détruisent et il vient

(22) AfCA^A^) — A.v(AMr)

^1 ^^-^ ™ àxt ' j p. \ f X i I ix i j X iJ

Cette égalité montre immédiatement, par application du critérium dont nous nous sommes déjà si souvent servis, que la quantité entre crochets représente une des composantes d'un tenseur du quatrième ordre, covariante par rapport aux indices r, 5, /, contrevariante par rapport à l'indice K.

Nous poserons donc, en changeant les notations,

et nous appellerons le tendeur important, qui s'introduit ici, le tenseur de Riemann-'C hristo ffel ( * ).

Remarques. — i" La formule (22), qui s'écrit encore

(2V) A,rA,A/;--A,(A,A^)=-. A).R>;.,,,

montre bien qu'en général l'ordre des dérivations n'est pas indifférent. Il le serait cependant si les gHf étaient des constantes, ce qui du reste est évident puisque, dans ce cas, la dérivation covariante se confond avec la dérivation ordinaire.

{') ChristofTel, dans le Mémoire déjà cité, le représente par la notation { a^, yô {; 311 lui donne souvent aussi le nom de symbole à quatre indices de deuxième espèce de Christoffel. Comme ces quantités ont un caractère tensoriel généraf, il est tout indiqué ici de leur appliquer la notation des tensetirs.

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