Formules et applications. — Partons de l'idonlité

nous en déduirons par difTérenliation

g ça dg''9 -h ^'-P du:^^ = o,

d'où par multiplication contractée par»^*^*

(28) dg>-^ = — g^9g'^ dg^rj.

On démontrera de même la formule analogue

(28') dgrs = — grçgsadg9^.

Prenons maintenant un système covariant du deuxième ordre, on démontrera immédiatement, en se servant des relations précédentes, l'identité ci-dessous :

(29) Kr.dg''^^— k>'^dgrs (0.

Si d'autre part nous considérons le déterminant ^ = ||^ia|| et que nous prenions sa différentielle d'après la règle de dérivation d'un déterminant, nous aurons en nous rappelant la signification

des g'"

dg = g.gi'^dgik OU encore

dL\g\=^gi'cdgik = -gikdgiK

Dans la formule de définition

} t \ L " J 2^ \ àx-'^ dx'' dx'' /

avait déjà formé les expressions i^^a^^ qu'il désignait par la notation (ajS; yS). On leur donne aussi le nom de symboles à quatre indices de première espèce de Christùffel. Biemann les avait rencontrées antérieurement dans un Mémoire qui ne fut, publié qu'après sa mort {Œuvres de Biemann, p. 870; Teubner).

(') Des trois identités ainsi établies il ressort en particulier que dg^, n'est pas un systènie tensoriel. Ceci était évident a priori puisque ces quantités sont les ■différences des composantes de deux systèmes tensoriels pris en des points infiniment voisins et qu'une telle différence n'a pas une signification indépendante du système des variables.

6o CAhCVL TBNSORIBL. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES KT MÉCANIQUES.

faisons t = r (avec sommation naturellement par rapporta rj,

nous aurons

et, les derniers termes ne différant que par le nom des indices

muets /• et u^ ceci se réduit à

\ '^ * / ï àgru ce qui permet d'écrire la formule précédente sous la forme

Ho) )'' M ^ ' àh\g\ ^ I d^fïg

] r \ 1 àx^ i/T7T àx"

Application des formules précédentes. Divergence d*un tenseur. — Lorsque l'on veut établir une formule ayant une signification physique ou géométrique indépendante du système des coordonnées, on peut commencer par l'écrire dans un système de coordonnées particulier, puis chercher à la mettre sous une forme qui présente le caractère d'un tenseur (en remplaçant en particulier les dérivées partielles par des dérivées tensorielles) et Ton sera assuré, d'après les lois de transformation des tenseurs, d'avoir ainsi une expression de la quantité en question valable dans le système de coordonnées le plus général.

En appliquant cette méthode, qui est d'un usage constant dans le calcul tensoriel, à la notion physique de divergence d'un vecteur dont on connaît l'expression en coordonnées cartésiennes rectangulaires, on sera conduit à appeler divergence d'un tenseur du premier ordre (A ) sa dérivée tensorielle contractée

invariant qui peut tout aussi bien s'écrire

l'-Ar.

Ces formules se généralisent à des tenseurs d'ordre quelconque, et par exemple on pourra prendre pour la divergence d'un tenseur du troisième ordre le tenseur du second ordre de composantes contrevariantes