CHAPITRE II. — CALCUL TENSORtEL. 6l

mais il est alors bon de remarquer que l'on peut obtenir plusieurs divergences suivant l'indice que l'on contracte avec l'indice de dérivation.

Modification des formules précédentes. — Prenons tout d'abord le cas d'un tenseur du premier ordre, la formule de divergence, explicitée, s'écrit successivement

ArA'' = h ' A'- — H ' . A'^ fd après (3o ) 1,

c'est-à-dire

Dans le cas d'un tenseur du second ordre, on pourra de même écrire la divergence sous la forme

ox'' r \ s \

Dans le cas d'un tenseur symétrique gauche^ le dernier terme de la formule est évidemment nul et l'on a alors

Dans le cas d'un tenseur symétrique di oit^ on peut modifier aussi l'expression de la divergence; pour cela, multiplions les deux membres de i'avant-dernière équation par ^Va (qui pourra entrer sous le signe' A;- en vertu du théorème de Ricci), on aura successivement

/TiT ^^^ L ^ J

2 \ àxf- àx^ àx<' )

or, on a évidemment, par changement du nom des indices muets

6a CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES ET MÉCANIQUES.

et en raison de ia symétrie du tenseur,

âx'' dx^ àxf^ '

ce qui donne dans ce cas pour la divergence la formule

(3iO A.A>= -À= ^(/MA'<^) I ^ a^X <,).,

^1^1 âx^^ 1 àx<^

Opérateur de Laplace. — En coordonnées cartésiennes rectangulaires, si l'on cherche la divergence du gradient d'un invariant co, on obtient ce que l'on appelle l'opérateur de Laplace et qu'on représente par le symbole bien connu A(^.

En coordonnées générales, l'opérateur de Laplace s'écrira

(32) A<p = ArA^9 = A''ArCp,

et d'après l'équation (3i ) il pourra encore s'écrire

Application. Calcul de la quantité Acp en coordonnées curvilignes orthogonales, — Supposons que nous soyons dans un système de variables pour lequel la forme quadratique fondamentale se présente sous la forme

(') Les expressions de la forme \/\g\ kJ"^ se rencontrent fréquemment dans les théories physiques, aussi est-il souvent commode, à côté des tenseurs proprement dits, d'introduire des densités tensorielles définies par exemple par ia relation

.1," = v/iTTa".

Ces quantités ( qu'on pourrait naturellement définir pour des tenseurs de tout ordre) se transforment suivant la loi

oAd'"' = D.5' Si. Jlfl?* (D dét. fonc. de la transformation).

On pourrait du reste imaginer des lois de transformation plus complexes dans lesquelles le déterminant fonctionnel D serait élevé à une puissance quelconque et qui satisfernient toujours (ce qui est essentiel) aux conditions (C) du début de ce Chapitre.

(*) Cet opérateur pourra naturellement s'appliquer aussi à des tenseurs d'ordre quelconque.