CHAPITRE II. — CALCUL TENSOaiEL

inveisenient la nullité des symboles entraîne celle des dérivées d'a}3rès ( i4)-

Soient donc^r' un système de variables quelconque et x'- un système de variables géodésique en P; d'après les formules de GliristolFel (i6') et ce que nous venons de dire, la condition nécessaire et suffisante pour qu'il en soit ainsi sera que l'on ait au point P

Alors on déterminera le changement de variables (.r^, x"-) en se

donnant les développements en série de Taylor des x'' en fonction

des x"- (qu'on pourra supposer nuls au point P). A cet effet, on se

donnera arbitrairement les valeurs des dérivées premières, par

exemple par les formules

i o si i ^ r

^— '"^ Il SI i — r

on déterminera par les formules de Chnstoffel précédemment écrites les valeurs des dérivées secondes en P, et l'on prendra arbitrairement les dérivées suivantes qu'on annulera pour simplifier. On aura ainsi les formules de transformation demandées

(36) x'' = (a;^)p-+- X'' — • • . ■ x''ûs^.

55- Application. — Gommeil est toujours possible, ainsi que nous l'avons remarqué précédemment, d'établir une formule ayant une signification physique en lui donnant une forme tensorielle et en se plaçant dans un système de variables particulier, il y aura sourent intérêt à faire cette vérification dans un système géodésique où les calculs seront plus simples

A titre d'application, nous allons établir par ce procédé une identité qui joue vin rôle fondamental dans la théorie de la relativité.

Si l'on se place dans un système de coordonnées géodésique en un point P, on vérifie immédiatement, en partant de la formule (26"), l'identité (vraie au point P)

A.BaPyo+ AyRapSt-f-AgRapey^o (2).

{*) Il faut naturellemenl que le détei'fninant fonctionnel en P soit différent de* zéro; ici il est égal à l'unité.

(^) Pour une interprétation géométrique de ces identités, voir G. Darmois, FJlénients de la géométrie des espaces {Annales de Physique, 1924, § 39).

Mais comme le premier membre de cette identité représente un système tensoriel cinq fois covarianl, on en conclut qu'elle est vérifiée dans n'importe quel système de coordonnées quel que soit le point P.

Or, cette identité s'écrit encore

Ac R"?^^ H- Ay R% -\- As K% ^ o .

Faisons-j d'abord la contraction a = o, |)uis la contraction p = v, elle devient

A, rP — Ay Rf -h Aa BÎ'Jy ^ o, puis

AeR-ApR?-AaR?^o,

ce qui s écrit encore

-AcR — AaR?=o,

ou enfin

(37) Aa[^.^fR-R?]^o.

Telle est la formule que nous nous proposions d'établir, formule qui exprime que la divergence du tenseur symétrique dont les composantes mixtes sont dans le crochet est nulle.