CHAPITRE II. — CALCUL TBNSORIBt. 6S

On trouvera immédiatement

ce qui donnera pour la quantité Acp, prise souç la forme {^2'), la formule ci-dessous, d'un usage constant en physique mathématique,

'^~ H1H2H3 [àx^ \ Hj àx^ /

d /H3HJI ^\ . J /H^Hs à^W dx^\ H2 dx^l dx^\ H3 dx'^lY

53. Les contractions du tenseur de Riemann-Christofiel ( ' ). — Reprenons la formule (28) définissant R^s^g. En la contractant par rapport aux indices a et 8 nous en déduirons le nouveau tenseur du second ordre

(33) Rpv=R^p^X

qui s écrira

"^ ^ py àxy ] Il \ \ l \ âx^ f u

ou encore diaprés (3o) (33^) R«,= ^!liiM

fx ( I X \ âx^' \ IX \ ■ dx^

Sous cette dernière forme, on voit immédiatement qu'il s*agit d'un tenseur symétrique

(34) Rpy^^R^p.

Enfin par élévation d'indice suivie d'une nouvelle contraction,

(') Du tenseur de Riemann-Christoffel on ne peut déduire qu'w/t sew/ tenseur contracté nouveau, car la contraction R sxô donnerait le même tenseur au signe près que.eelui que nous considérons ici, et la contraction R.)y8 donnerait un résultat identiquement nul.

64 CALCUL TBNSOniBL. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES ET MÉCANIQUES.

on pourra en déduire un invariant par les formules

Tous ces lenseursjouent un rôle fondamental en physique et en géométrie (*).

54. Système de coordonnées géodésique en un point. — Nous avons déjà remarqué que si les coefficients ^>7a de la forme quadratique fondamentale étaient des constantes, les symboles de Ghristoffél des deux espèces étaient nuls.

En général il n'en est pas ainîii, et nous verrons plus tard qu'on ne peut pas, par un changement de variables, ramener ces coefficients à être constants, sauf dans le cas particulier où le tenseur de Riemann-ChristofFel est identiquement nul.

Mais nous allons montrer qu'on peut toujours trouver un changement de variables tel qu'eAi un point particulier P de la multiplicité les dérivées partielles premières des gik soient nulles. Un système de variables pour lequel cette particularité sera réalisée sera dit géodèsique au point P. En effet, dire que les dérivées

partielles -^^ sont nulles en un point revient à dire que les symboles de Ghristoffél des deux espèces sont nuls en ce point et

(') On trouve pour représenter ces différents tenseurs les notations les plus diverses suivant les auteurs. Cette diversité, jointe au fait que la plupart des auteurs ne précisent pas, comme nous le faisons ici, la place mutuelle des indicés de types différents, n'est pas faite pour faciliter la lecture des mémoires et pour permettre la comparaison rapide des résultats. Aussi n^est-il peut-être pas inutile de dresser un petit tableau comparant les différentes notations

Auteurs. Composantes Composantes Tenseur

mixtes. rovariantes. contracté.

Présent Ouvrage ^"pvô RapyS Rpy == ^.pyX

Weyl F?5 FaPy^ Rp5=F^5^3

Eddington-Becquerel . . . RsyS B^ySa ^?Y ^ ^8>.y

Galbrun.... K^^^ RapSy RpY=RpxY

Juvet Rp*5Y *^PaoY R^ï = ^fJ^^Xy

Christoffel-Bianchi | ,3a; Sy ; (Pa;6y)