CHAPITRE II. — CALCUL TENSORIEL
Systèmes tensoriels du premier ordre :
1° Covarijints (3) A, = x?A5 ou Ar = ^P.Ao (Ex. :-^);
•A^ Gonlrevaiiants
<4) T''=^JjAp ou A'"=^ÂP (Ex : rtf.r'').
Systèmes tensoriels d'ordre supérieur. — Exemple- :
A)f^= ^Pxa^jAp'^T, \ ou
1 ou encore
L'indice inférieur caractérise toujours la cosariance; L'indice supérieur caractérise toujours la eontrevariance.
Opérations tensorielles :
Addition (analogue à l'addition vectorielle) i
-,,.,., , . f commutalives, associatives et
Multiplication extérieure / peuvent se .....
^, . (■ 1 • i fiistnbutives.
<^ontraclion ) combiner )
Critérium décelant le caractère tensoriel. — Si un groupe de quantités A(/, 5, t) est tel que A(r, .ç, t)\r'^sV soit un invariant quels que soient les systèmes tensoriels ç^î f\s^ ?^» -^ ('% -^j ^) est un système tensoriel du type A'^^ .
Systèmes tensoriels spéciaux. — Symétriques (ex. ; A^a^ A/tj). Antisymélriques (ex. : A/>^= — -^ki)-
Forme quadratique fondamentale :
gik dx' dxf" ( gik = gki)
(invariante par définition).
Discriminant
g = Il giff. Il 5z^ o, g- = D^g (D = dét. fonct. de la transformation).
Systèmes tejisoriels fondamentaux du deuxième ordre : i" Covariant
<)8 CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQl ES ET MÉCANIQUES.
:>/' Gontrevariant
g^^= — y mineur algébrique de ^,7. ;
3" Mixte
( o si i ^ /c,
t»-' — frl/ tri,, — — /
( l SI l = A.
Abaissement et élévation des indices. — Le produit contracté d'un système tensoriel quelconque par un système fondamental donne :
I** Pour g'i/(, un changement d'indice suivi d'un abaissement,
■7) ex. : j^a\k= Ai;
2" Pour ^^*, un changement d'indice suisi d'une élévation,
(7') ex. : .^''^Aat^ A';
3° Pour g'f.^ un changement d'indice seul,
,8) , ex, : ^'^A.^=: A^ (,^^ est un opérateur de substitution).
Règles du a Jeu des indices ». — Sur tout indice muet on a le droit d'abaisser l'indice dans une de ses positions et de l'élever
dans l'autre,
ex. :,A^-Bf>^A*Bt/.
Un même indice non muet peut être élevé ou abaissé simultanément dans tous les termes d'une équation tensorielle,
ex. : Aa;B*^=: C/ équivaut à AaiB^'^ = C.
Oli peut toujours changer le nom d'un indice muet.
Tenseurs. — On peut associer à tout système tensoriel plusieurs autres systèmes en élevant ou en abaissant les indices; tous ces systèmes sont les composantes de dirt'érents types d'un même tenseur.
Exemple : Les syslèmes fondamentaux giu. g'''-, g'] sont les composantes covarlautes, cont revariantes ou mixtes du tenseur métrique fondamental.
Equations différentielles des gèodésiques : ., d-x^ \ r s I dx'' dx^
CHAPITRli: II. — CALCUL TENSORIEL. 69
Symboles de Christoffel:
For m a les de Ch r is t offe l :
àgrt
(,6') 4^;';\-is-^\
avec
ôx dx^
Dérivée covariante. — Exemple :
/ N A ,■ ^^'st ^ ^ u\ .\ \S II) .r \ t U } . ,.
09) A"A:,,= -^ + | ^, JA^,,-j ^ {A.).-j ^ |a:.,,;
se confond avec la dérivée partielle ordinaire si on l'applique :
1° à un invariant quels que soient les g^;
2** à un système quelconque et si les gik sont constants.
Dérivée contrevarianle :
{'i\) A*(systéme quelconque) == ^-^^ A/(même système)..
Théorème de Ricci :
^sSik^o, ^sg'^^o, A,^i=o.
Propriétés de la dérivation covarianie :
Les mêmes que celles de la dérivation ordinaire; Elle est permutable avec la contraction et le déplacement des indices ;
La dérivée d'un système constant n'est pas nulle.
Dérivations tensorielles successives. — Ne sont pas indépendantes de l'ordre des dérivations
(^^2') A,(A,A,.)-A,(A,A,) = AxRf',,,.
Tenseur de Riemann-Christoffel :
(25) RapY8= ^a^^ï^.^YO»
<^2^a8 ^'*"P8 ^'A^aY . '^'^Py
, , composantes
(27) RapY8 = -HRYSap ) '^
( RaPYÔ-^ ï^aY^P"^ ^a5pY=^ ^ ' indépendantes non nulles. Quelques identités importantes :
(28) dg'^s = gr^gsa d^-^^,
( 28' ) dgrs ■= — é'rp ^^(T C?^P^,
( 29 ) A,., dg^s = A''^ rf^-^„ d^\g\ — g^^ dgik = — gik dgif',
(30) S" ^J^l^ilM^^^^^]II.
Divergence d'un tenseur :
1° Tenseur du premier ordre co variant,
A'-A,.= ^^' A,Ar;
CHAPITRJK II. — CALCUL TENSORIEL. 7I
•À° Tenseur du premier ordre contrevariant,
3° Tenseur du deuxième ordre symétrique gauche^
4° Tenseur du deuxième ordre symétrique droit,
an A,. A', = -J= àW[g^K\) ■ dM ^,,,
Opéî^ateur de Laplace :
(Sa) A (tenseur quelconque) = A,. A'( )=?:A''Ar( )•
Contractions du tenseur de Riemann-Christo (fel :
(33-33) R^y-^Pt^- ^^y "^ ) j, ( j X (
/ X \ ^ 6 y M jji X
dx^dx'î \ \i. \ \ X
(34) Rpy=Ryp,
(35) jH?=.^-^B,„
( R=.Rj^^o.ayR^^.
Passage d^un système de variables quelconque (x^) à un système {x^) géodésique au point P :
il/' s \ — —
Identité fondamentale de la relativité :
