CHAPITRE XXXI. — HYDROSTATIQUE. l

où c' est une autre constante déterminée comme nous l'avons dit. On obtient ensuite c en écrivant que, sur la surface libre,/? =/?a5 ce qui donne

Exercice. — Supposons que le vase soit un cylindre de révolution autour de Oz de rayon R et que, le vase étant au repos, le liquide supposé homogène s'y élève à la hauteur h. On fait tourner le vase avec la vitesse w ; démontrer que, si l'origine 0 est au fond du vase, la surface libre a pour équation

(.o2(a?2-f- y'2) — igz == o>2 ^§h,

tant que

10 =-rT

Si u>2 > • , le fond se découvre et la surface libre a pour équation R2

w202-hjk2) — igz = wR(coR — i\/~gh).

Tant que le fond ne se découvre pas, la section de la surface libre par

le niveau primitif z = h est une circonférence de rayon ^Ry/a indépendant de o). Ces résultats sont empruntés au Cours de M. Léauté à l'Ecole Polytechnique en 1898.

On a construit un appareil fondé sur la théorie exposée dans ce numéro, permettant de mesurer les vitesses angulaires (voyez Greenhill, A Treatise on Hydrostatics, p. 448; 1894).

633. Fluides superposés. — Soient deux fluides superposés : appelons/? la pression, p la densité dans le premier fluide, et F la force, de projections X, Y, Z, agissant en chaque point du fluide rapportée à l'unité de masse; soient pK, p0 F< les quantités analogues pour le deuxième fluide.

Les deux fluides étant en équilibre, on a, dans le premier,

dp = p(X dx -h Y dy -h Z dz) — F p ds cos F, ds, et, dans le deuxième,

dpi = p^Xxdx -r- Yidy -hZidz) = F^ ds cosF!, ds.

Le long de la surface de séparation S, la différence p — p\ est nulle, car chaque élément de cette surface doit subir la même pression sur ses deux faces, pour que l'équilibre subsiste. On. a

i54 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

donc, pour un déplacement quelconque ds effectué sur la surface de séparation, dp = dpx, c'est-à-dire

(S) p(Xrfa? + Yrf/ + Z dz) = piiXidx -h Y\dy -+- Zxdz),

ou encore

(S) Fp cosF, ds = Ftpi cosFi, ds.

C'est là l'équation différentielle de la surface de séparation.

Cas particuliers. — i° Les forces F et F< appliquées aux deux fluides, dérivent de fonctions de forces U et U^; l'équation différentielle de la surface de séparation est alors

(S) pd\J — pifl?Ui = o.

2° La fonction de forces est la même pour les deux fluides. Alors U< est identique à U ; l'équation (S) devient

(p — pl)dU=o.

Comme p — p, est différent de zéro, on a, le long de la surface

de séparation

dV = o, U = const.;

la surface S es£ une su/face de niveau. C'est la généralisation de ce qui a lieu pour deux fluides pesants supposés (n° 629).

3° Les deux fluides superposés sont des liquides à température constante. Alors p et p, sont constants; le long de la surface de séparation, on a

p dXJ — pitf?Ui=o, pU — pi Ui = const., ce qui donne l'équation de la surface S sous forme finie.

634. Principe d'Archimède. — Imaginons un fluide en équilibre sous l'action d'un certain système de forces; soit, comme plus haut, F la force qui agit sur le fluide en un point quelconque M, rapportée à l'unité de masse.

Supposons qu'un corps solide soit plongé dans ce fluide et maintenu immobile. Sur chaque élément superficiel dv du corps, le fluide exerce une pression normale p d<7. L'ensemble de ces pressions constitue un système de forces appliquées à un corps solide ; elles peuvent donc être réduites à une résultante générale OR