CHAPITRE XXXI. — HYDROSTATIQUE. l5l
force rapportée à l'unité de masse dérive d'une fonction de forces.
Supposons, d'une manière générale, que cette circonstance se
présente et appelons U(#, y, z) la fonction de forces. L'équation
d'équilibre est alors
dp = p d\J.
Cette équation montre d'abord que p est fonction de U seulement; en effet, si l'on se déplace dans le fluide de telle façon que U reste constant, dU est nul, donc dp est nul et p reste constant. Ainsi
Les surfaces d'égale pression ou surfaces de niveau se confondent donc avec les surfaces U = const.
Remplaçons p par cette expression dans l'équation d'équilibre et désignons par cp' la dérivée de cp ; nous aurons
p = cp'(U). .
Les surfaces d'égale densité se confondent donc avec les surfaces de niveau.
Enfin, l'équation caractéristique entre p. o etT montre que t est également une fonction de U, c'est-à-dire que les surfaces d'égale température coïncident aussi avec les surfaces de niveau.
632. Application. Équilibre relatif d'un liquide pesant animé d'un mouvement de rotation uniforme autour d'un axe vertical fixe. — Imaginons un liquide pesant de densité p animé d'un mouvement de rotation uniforme, de vitesse angulaire w, autour d'un axe vertical iîxe ascendant Oz. Cherchons si ce liquide peut prendre un état d'équilibre relatif par rapport à des axes rectangulaires 0#, Oyy Oz tournant autour de 0,3 avec cette même vitesse.
Pour cela, on peut regarder les axes mobiles comme fixes, à condition d'ajouter à la pesanteur Ja force centrifuge (voyez Chap. XXII). Soit dm un élément de masse de coordonnées relatives xy y, z : le poids de cet élément a pour projections sur les axes Ox: Oy, Oz les quantités o, o, — g dm; la force centrifuge est dirigée suivant la perpendiculaire abaissée de l'élément considéré sur l'axe Oz, elle tend à éloigner l'élément de l'axe et elle a
l$1 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
pour intensité to2rdm, r étant la distance de l'élément à l'axe; par suite, la force centrifuge a pour projections <ù2x dm, <s>2ydm, o. La résultante des forces qu'il faut appliquer à l'élément dm a donc pour projections iù2xdm, iù2y dm, — g dm, et la force X, Y, Z rapportée à l'unité de masse est
X = oj2x. Y = to2^, Z= — g.
L'équation d'équilibre est alors
dp = p [ to2 ( x dx -+- y dy) — g dz ] .
Actuellement, la force X, Y, Z dérive d'une fonction de forces uniforme
U= °^(x^y*)-gz,
et l'on peut écrire
dp = p dU ;
on pourra donc appliquer à cet exemple toutes les conclusions du numéro précédent.
Les surfaces de niveau sont
U = const.;
ce sont des paraboloïdes de révolution autour de O^ tous égaux,
pr
la parabole méridienne ayant pour paramètre ^*
La surface libre du liquide supposée en contact avec l'air immobile est une surface de niveau, car, sur cette surface, la pression est constante et égale à la pression atmosphérique pa. La constante arbitraire figurant dans l'équation de la surface libre se détermine par cette condition que la masse liquide limitée par les parois du vase et la surface libre a une grandeur donnée.
Si le liquide est à une température constante, p est constant; alors, en intégrant, on a
p = p I ^- O2 + y2 ) - gz + cl ,
où c est une constante, et la surface libre a pour équation
— 02-+-JK2)— gz = c,
