II. — ÉQUILIBRE ISOTHERME

636. Équilibre isotherme. — ■ Nous examinerons en détail le cas simple où la température est constante dans toute l'étendue du fluide en équilibre. On dit alors que l'équilibre est isotherme.

637. Dans l'équilibre isotherme, les forces appliquées à l'unité de masse dérivent nécessairement d'une fonction de forces uniforme dans l'étendue du fluide. — Si la température t est constante dans toute l'étendue du fluide, la relation caractéristique devient une équation entre les deux seules variables/? et p ; nous supposerons cette relation résolue par rapport à o.

Equation caractéristique :

La fonction f{p) est uniforme et essentiellement positive. Par exemple, pour un gaz parfait à température constante,

P = Cp,

G désignant une constante positive; pour un liquide incompressible,

c étant une constante positive.

Les équations d'équilibre sont résumées dans l'équation unique

(11) dp = p ( X dx -h Y dy -+-Zdz),

où dx, dy, dz sont arbitraires. Comme on a

on peut écrire cette équation

Xdx-*-Ydy-*-Zdz = d f ~P

fiP)

Donc "X.dx-\-Ydy-\-2idz est la différentielle totale exacte de

la fonction

dp

Kp)

l58 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

Cette quantité P est une fonction uniforme de la pression p ; mais, comme p est une fonction uniforme de œ, y, z dans toute l'étendue du fluide, P est une fonction uniforme de #, y, z\ ce qui démontre le théorème.

Inversement, supposons un fluide, à température constante, sollicité par des forces telles que la force X, Y, Z, rapportée à l'unité de masse, dérive d'une fonction de forces uniforme U(#, y, z). Le fluide peut alors prendre une position d'équilibre et, dans cette position, la pression et la densité se déterminent comme il suit :

L'équation d'équilibre (n° 631) s'écrit

dp = p dU , — = d\J ,

ou, en remplaçant o par f(p) et intégrant,

p dp

dans cette équation, p et p0 désignent les pressions en deux points M et M0 du fluide, U et U0 les valeurs de la fonction U en ces mêmes points. En la résolvant par rapport à /?, on voit qu'elle détermine la pression en chaque point M du fluide, dès qu'on la connaît en un point particulier M0. On a ensuite o =.f(p).

Ce sont là des cas particuliers des théorèmes établis au n° 631.

Par exemple, dans un liquide pesant à température constante, on a, en prenant un axe Oz vertical descendant, et supposant l'intensité de la pesanteur constante dans toute l'épaisseur du liquide,

U = gz.

L'équation d'équilibre, où p est constant, donne alors

Si l'on appelle z0 le z de la surface libre supposée en contact avec l'air au repos, la pression p0 sur un élément quelconque de cette surface est la pression atmosphérique, qui est connue. La formule détermine alors la pression en un point quelconque.

Liquide incompressible. Principe de Pascal. — Dans un li-