OP' = A

dh La dérivée -jj- s'annule une fois pour k = k' ; cette valeur rend la

fonction h maximum et la valeur de ce maximum est P'N' = 0,224. . .

to2 D'après cela, si, dans l'équation (22), le premier membre ■ ^- a une

valeur OH moindre que le maximum 0,224, on trouve pour k deux valeurs OPj et OP2 {fig- 3o8) séparées par la valeur 2,53; il existe donc

w2 deux ellipsoïdes de révolution aplatis répondant à la question. Si -r-

devient égal à 0,224, les deux ellipsoïdes se confondent, et si - — -— est

27V P supérieur à 0,224, il n'exisie plus d'ellipsoïde de révolution aplati donnant

une figure possible d'équilibre.

En particulier, pour u> = o, une des valeurs de k est nulle, elle donne une sphère; l'autre est infinie, elle donne a infini et b nul. Si w est très petit, l'un des ellipsoïdes est voisin d'une sphère, l'autre se réduit à un disque elliptique très mince.

La figure de la Terre étant approximativement un ellipsoïde de révolution aplati, il est naturel de chercher à la rattacher à la théorie précédente, en admettant que la Terre a été primitivement une masse tluide homogène.

En prenant comme unité de temps la seconde de temps sidéral, on a pour la Terre

co =

pour avoir une valeur approchée de la densité moyenne de la Terre, regardons-la comme une sphère homogène de rayon R; son attraction en un point de sa surface de masse 1 est alors la même que si la masse totale était concentrée au centre; cette attraction est d'autre part sensiblement égale à g = o,m,8o8; on a donc approximativement

-7iRp/=^,

d'où, en remplaçant 27ïR. par 4ooooooom,

iG8

L'équation correspondante (22) a alors deux racines en k dont la plus petite seule peut se rapporter à la Terre. En calculant cette racine, on

trouve qu'elle donne un ellipsoïde dont l'aplatissement est égal à

— — -> tandis que l'aplatissement de l'ellipsoïde terrestre est - — • Ce désac-

i5i ^ l l 3oo

cord montre que l'on est loin de la réalité en admettant que la Terre ait été à un certain moment une masse fluide homogène. On trouvera ce calcul fait d'une façon plus précise dans le Traité de Mécanique céleste de Tisserand, t. II, p. 89-91.

Remarque. — Il est impossible que la figure d'équilibre soit un ellipsoïde de révolution allongé. En effet, en supposant a < b, on voit que

/. = serait purement imaginaire, et, en laisant A = il, on aurait

l < 1. L'équation (22) deviendrait alors

il*

arc tan g il -f- — •

Gomme / est < t, on peut développer arctangzVen série procédant suivant les puissances positives de /. et l'on constate sans peine que l'on obtient, dans le deuxième membre, une série dont tous les termes sont négatifs; l'équation (23) est donc impossible.

Deuxième cas : Ellipsoïde à trois axes inégaux. — Jacobi a montré que la figure d'équilibre de Ja masse tournante peut aussi être un ellipsoïde à trois axes inégaux

où l'axe de rotation de la masse est toujours supposé coïncider avec 0,3. D'après la valeur du potentiel d'un ellipsoïde homogène sur un point de son intérieur ou de sa surface (n° 602), l'attraction de l'ellipsoïde sur un point de masse 1 placé à l'intérieur ou à la surface a pour projections

(25) -Px, -Qj, -R*,

où P, Q, R sont des constantes fonctions de a, b, c :

(26) P = iizabcfp f