CHAPITRE XXXI. — HYDROSTATIQUE

D'autre part, la force centrifuge rapportée à l'unité de masse a

pour projections

w2^p, oi^y, o.

L'équation d'équilibre est donc

- dp = (w2 — P)x dx-h(oi2— Q)jk dy — Rsd^. P

Les surfaces de niveau ont pour équation

(27) (w2 — P)a?2+ (tu2— Q)jk2— R^2= const.;

ce sont des ellipsoïdes homothétiques et concentriques. Pour que l'ellipsoïde donné soit une figure d'équilibre, il faut qu'il fasse partie de la famille (27), ce qui exige que l'on ait

(28) a2(p.w2) = &2(Q — to2) = c2R;

ce sont des équations transcendantes déterminant les rapports de deux des axes au troisième. En leur adjoignant l'équation

- Tiabcp = M,

qui exprime que la masse totale de l'ellipsoïde a une valeur donnée M, on a trois équations pour calculer les axes de la figure d'équilibre a, Z>, c en fonction de JVJ, p et to.

Il s'agit de discuter ces équations. Le cadre de cet Ouvrage ne nous permet pas d'entrer daus le détail de la discussion que l'on trouvera exposée dans le Traité de Mécanique céleste de Tisserand, t. TJ, p. ç)8. Nous nous bornerons à indiquer la marche et les principaux résultats de cette discussion.

Indications sur la discussion. — On tire, des deux équations (28), les

suivantes :

Dans ces deux équations, remplaçons P, Q, R par leurs valeurs, nous avons

i w2 , r00 idi

— abc

Jn (a*

I 9 fV a*b* c2 ] cTk

Le premier membre de la deuxième équation est un produit de deux facteurs.

En égalant à zéro le premier facteur cC1 — b2, on obtient les ellipsoïdes de révolution précédemment étudiés. Pour avoir les ellipsoïdes à trois axes inégaux, il faut égaler l'autre facteur à zéro.

Pour discuter les deux équations (29) ainsi obtenues, il est commode de faire

en posant \ = c2x, où x est une nouvelle variable d'intégration. On a alors, en faisant

A = \/(i-i- x)(i-+- sx)(i-{- tx), les deux équations

. „ . to2 f °° x dx

(31) rz~ ==«* / 7-