CHAPITRE XXXI. — HYDROSTATIQUE

voisinage d'une position d'équilibre ; mais il fît lui-même des hypothèses arbitraires, en admettant que, dans ces petits mouvements, les pressions peuvent être déterminées d'après les règles de l'hydrostatique : néanmoins les conditions qu'il trouva pour la stabilité sont exactes. Les hypothèses faites par Duhamel furent critiquées par Clebsch (1 ), qui fît voir que certains termes négligés par Duhamel étaient de même ordre de grandeur que les termes conservés : il ne donna d'ailleurs pas, sous une forme simple, les conditions nécessaires et suffisantes de l'équilibre.

La première théorie rigoureuse de la stabilité des corps flottants a été donnée par M. Guyou ( 2), suivant une idée émise par Bravais dans sa thèse soutenue à Lyon en i83^. Celte théorie, fondée sur le théorème de Lejeune-Dirichlet (IIe Volume, Ghap. XXIV), est appuyée de démonstrations géométriques très simples et très élégantes que nous reproduisons plus loin. M. Duhem (3) a fait à cette théorie une objection qu'il a ensuite reconnue mal fondée (4).

On trouvera dans le premier Mémoire de M. Duhem un historique de la question plus détaillé que nous ne pouvons le donner ici, suivi d'une solution analytique. Pour les travaux anglais nous renverrons au Treatise on hydrostatics de M. Greenhill (i8g4).

Une question du même genre, mais plus complexe encore, a fait l'objet de quelques travaux récents : c'est l'équilibre d'un navire avec un chargement liquide. Cette question a été étudiée par M. Guyou (/oc. cit.), par M. Duhem dans divers Mémoires dont on trouvera une énumération détaillée daus le Tome CXXIX des Comptes rendus (p. 879; 1899), par M. Greenhill (loc. cit., p. 174) et Par M. Appell ( Comptes rendus, 16 et 23 octobre 1899 ; Journal de U Ecole Polytechnique, 1900). '

(!) Clebsch, Ueber das Gleichgewicht schwimmender Korper (Journal de Crelle, t. 57, 1860).

( 2) Guyou, Théorie nouvelle de la stabilité de l'équilibre des corps flottants {Revue maritime, mars 1879) et Théorie du Navire (Berger-Levrault, ire édition, 1887; 2e édition, 1894).

(3) Duhem, Sur la stabilité de l'équilibre des corps flottants (Journal de Mathématiques, 5e série, t. I; 1895).

(4) Duhem (fbid., 5e série, t. II; 1896).

649. Conditions nécessaires à l'équilibre d'un corps flottant. — Un solide pesant plongé dans un liquide en repos est soumis : i° à son poids P appliqué en son centre de gravité G; 2° à la poussée R égale au poids du liquide déplacé et appliquée au centre G du volume immergé {fig- 3 1 5 ) .

Dans cet énoncé, comme dans tout ce qui suit, nous appelons centre d'un volume ou centre d'une surface le centre de gravité du volume ou de la surface regardés comme homogènes.

Fig. 3i5.

Pour qu'il y ait équilibre, il faut et il suffit que ces deux forces soient égales et directement opposées. Donc : i° la droite GG doit être verticale ; i° on doit avoir

P = tttV,

en appelant m le poids de l'unité de volume du liquide et V le volume immergé.

650. Définitions. Flotteurs. — Nous appellerons flotteur un solide pesant fermé de toutes parts et dont le poids total est inférieur au poids d'un égal volume d'eau. Il peut arriver que les flotteurs soient des solides creux ouverts à leur partie supérieure, c'est le cas des navires; mais lorsque l'on convient de n'envisager que les inclinaisons telles que le liquide ne peut pas embarquer, on peut évidemment les supposer clos.

Axes d'orientation. — Pour préciser la manière dont le flotteur est orienté dans l'espace, prenons un point du flotteur, son centre de gravité G par exemple {fig* 3 1 5), et menons par ce point