CHAPITRE XXXI. — HYDROSTATIQUE

D'ailleurs le triangle pDc', dans lequel l'angle en p. est égal à 8,

donne

tan g 6

le point D étant infiniment voisin de C, la limite de D[x est égale à celle de G u et l'on a finalement

Le théorème est donc démontré.

Quand l'axe d'inclinaison varie en tournant autour du point O, centre de la flottaison, I varie, le point u. change de position sur la normale CN.

D'après ce qui précède, ce point est constamment compris entre le grand et le petit métacentre M et ru et se confond avec l'un d'eux quand la direction limite de CG' coïncide avec une direction principale de la surface (G) au point G, c'est-à-dire avec un des axes de l'ellipse indicatrice des courbures en G. On en conclut aisément que ce fait a lieu au moment où l'axe d'inclinaison luimême est parallèle à une des directions principales relatives au point C. En effet, nous avons vu plus haut que la direction limite CC' et l'axe d'inclinaison OX sont parallèles à deux diamètres conjugués de laconique indicatrice en C. Si donc CC' coïncide avec une direction principale en C, l'axe d'inclinaison est parallèle à l'autre et réciproquement.

Pour représenter la variation du moment d'inertie I de l'aire de la flottaison par rapport à des axes OX situés dans son plan et passant par son centre O, il suffît de considérer l'ellipsoïde d'inertie de l'aire de la flottaison relatif au point O (Ghap. XVII); cet ellipsoïde a évidemment pour plan de symétrie le plan de la flottaison qu'il coupe suivant une ellipse qu'on peut appeler Vellipse centrale d'inertie de la flottaison. Les directions de l'axe d'inclinaison, qui donnent les moments d'inertie maximum et minimum, correspondent alors au petit et au grand axe de cette ellipse. Soit T0 le minimum de I, le petit métacentre m est à une hauteur

Les directions principales de la surface (G) en C sont parallèles aux axes de l'ellipse centrale d'inertie de la flottaison.

La seule connaissance de la flottaison permet donc de déterminer M, m et les directions principales de la surface (G) en G.

656. Positions d'équilibre du flotteur. — Dans l'équilibre, la partie immergée est une carène de volume

la surface de flottaison est donc tangente à la surface libre du liquide FL supposée prolongée dans le flotteur (fig. 3 1 5). En outre, la droite GC est verticale, c'est-à-dire perpendiculaire à FL : elle est donc normale en G à la surface des centres de carène, puisque le plan tangent en G à cette surface est parallèle à FL.

Donc le centre de carène correspondant à une position d'équilibre est le pied d'une normale menée du centre de gravité G à la surface des centres de carène.

Réciproquement, à chaque normale GG menée de G à la surface (G) correspondra une position d'équilibre obtenue en immergeant la carène dont le centre est au pied G de la normale considérée. Dans cette position, le centre de gravité peut se trouver soit au-dessus, soit au-dessous de G.

Parmi les positions ainsi obtenues, les unes sont stables, les autres instables. Les positions d'équilibre instables ne peuvent pas être réalisées : le flotteur, placé dans une position instable, chavire au bout d'un temps très court. Les seules positions dans lesquelles il puisse réellement flotter sont les positions stables.

657. Premier aperçu sur la stabilité. — Imaginons que le corps soit en équilibre dans une certaine position, le plan de flottaison étant FL : la droite GG est alors perpendiculaire à FL et normale en G à la surface (G).

Ecartons le corps infiniment peu de cette position d'équilibre de telle façon que la carène conserve le même volume V, et soient OX l'axe d'inclinaison correspondant; F'L' la nouvelle position de la surface libre par rapport au corps ; G le nouveau centre de carène.