CHAPITRE XXXI. — HYDROSTATIQUE. I

Pour simplifier, nous représenterons seulement (fig. 3i8) la projection de la figure de l'espace sur le plan mené par la normale CN parallèlement à la normale infiniment voisine ON7. On peut

Fig. 3 18.

rh te

ox^-

-^rf

déterminer ce plan de projection en menant par le métacentre y. {fig. 317) la droite ^n' parallèle à ON'; le plan n'tuN est le plan demandé parallèle aux deux normales; il est perpendiculaire à jjip.' et, par suite, à l'axe d'inclinaison OX. L'angle Nfji/z' est égal à 0. Nous appellerons c' la projection de O sur ce plan; la droite c' n est alors la projection de la normale ON7.

Prenons, comme précédemment (n° 651), pour axe OY une perpendiculaire à OX dans le plan FL et pour axe OZ une verticale descendante; l'axe OX perpendiculaire au plan de projection sera représenté (fig. 3 1 8) par un point.

Appelons X, Y, Z les coordonnées d'un point e' ou f du plan

de la flottaison F' L' par rapport à ces axes, en remarquant que

l'on a

Z = Y tango.

Soit d<7 un élément d'aire de la flottaison FL placé en e ou y, le moment d'inertie de la flottaison par rapport à l'axe OX est

l'intégrale étant étendue à toute la flottaison.

Gela posé, appliquons à tous les éléments de la première carène, limitée par le plan horizontal FL, des forces fictives verticales ascendantes égales à ces éléments : ces forces ont une résultante GV égale à leur somme V appliquée au centre de carène G et dirigée suivant GN. Appliquons de même aux éléments de volume

de la deuxième carène des forces fîcllves verticales descendantes égales à ces éléments : ces forces ont une résultante unique C'V égale à leur somme V et dirigée verticalement vers le bas. L'ensemble de toutes ces forces fictives appliquées aux éléments de volume des deux carènes est donc équivalent au couple CV, C'V' dont le bras de levier est CD, distance de G' à la normale GN. Mais, d'autre part, les forces fictives appliquées aux éléments de volume communs aux deux carènes se détruisent deux à deux, puisque à chacun de ces éléments sont appliquées deux forces égales et opposées; il ne reste donc que les forces fictives appliquées aux éléments des deux onglets FXF'etLXL'. A un cylindre élémentaire ed de base d<s et de hauteur Z du premier onglet est appliquée une force verticale ascendante égale au volume Z di de ce cylindre; le moment de cette force par rapport à OX est YZt/o-; de même, à un cylindre élémentaire ff du deuxième onglet ayant pour base dv est appliquée une force verticale descendante égale au volume de ce cylindre : le moment de celte force par rapport à OX est encore YTjda-.

Les forces appliquées aux éléments des deux onglets étant équivalentes au couple CV, C'Y7 la somme de leurs moments

YZdc

par rapport à OX est égale à la projection de Taxe du couple sur OX, ou encore du moment de la projection du couple sur un plan perpendiculaire à OX, c'est-à-dire précisément sur le plan de la

Jig.SiS.

Les forces V et V se projettent en vraie grandeur sur ce plan, le point C' se projette en d et le bras de levier CD en c'D. Le moment du couple projeté est donc V.c'D, et l'on a

YZ da^Vc'D.

Mais comme chaque ordonnée Z, telle que ed ou ff , est égale à Y tangB, on a

tangO f~fc*da = V cU,

d'où

I ,. c L) li m

V tangO