CHAPITRE XXXI. — HYDROSTATIQUE

sautes pour qu'une position du corps soit une position d'équilibre stable sont les suivantes :

i° Le centre de gravité doit se trouver sur la normale en G

{fig. 32l).

2° Il doit être placé au-dessous des deux centres de courbure principaux de la surface relatifs au point G.

La première condition est évidente, car, pour qu'il y ait équilibre, il faut que le poids du corps appliqué en G soit détruit par la réaction du plan appliquée en G : le poids doit donc passer par C; la droite GG doit être normale au plan.

Cette première condition étant remplie, pour que l'équilibre soit stable, il faut et il suffît que, dans la position considérée du corps, la distance du point G au plan horizontal fixe soit plus petite que dans toute position infiniment voisine. Au lieu de laisser le plan tangent fixe et de déplacer le corps, il est plus commode de regarder le corps comme fixe dans la position d'équilibre et de déplacer le plan tangent. Il faut et il suffit, pour la

stabilité, que la distance GG du point G au plan tangent en G

Fig. 32i.

soit plus petite que la distance GH du point G aux plans tangents en des points G' infininiment voisins de C. Prenons comme origine le point C, comme plan des xy le plan tangent en G, comme axes des x et des y les directions principales de la surface en G, comme axe des z la normale Cz du côté où se trouve la surface. Soient x, y, z les coordonnées d'un point G; de la surface, voisin de C; en employant les mêmes notations que plus haut (n° 6o4), on a

z = -(r0^2+ t0yî)-i-... ;

les ordonnées des deux centres de courbure principaux M et m

(grand et petit metacentre) sont — et -•

Cela posé, appelons Ç le z du centre de gravité G qui, par hypothèse, est sur Cz ; l'équation du plan tangent en C est

la distance GH du centre de gravité à ce plan est

GH = (Ç- z -i- px + q y)(i+p*+ q*)~*

où nous devons prendre le signe -j- dans le deuxième membre,

d'après la convention faite plus haut pour le signe de GH. En effet, comme au point C, x,y, z, p, q sont nuls ; au point C , voisin de C,

ces quantités sont très petites et l'expression de GH a le même signe que Ç; elle est donc, d'après le choix des axes, positive ou négative suivant que G est, par rapport au plan tangent, du même côté que la surface ou de l'autre côté.

11 faut maintenant exprimer que cette expression de GH est minimum pour x = y = o. D'après le développement de 5, on a

p —r0x -+-..-, q=tQy-±-

et en portant dans GH :

GH

(IH- rjar* -h *Jj* +..0

Développant la puissance par la formule du binôme, faisant

le produit et écrivant seulement les termes du deuxième ordre en x et en y, on a

(,) m=l + {ri*(±.-t) + Ltls(l.-i)+....

Pour que la valeur Ç, qui correspond à ^=:y = o, soit un minimum de GH, il faut et il suffit que les coefficients de x2 et y2 soient positifs, c'est-à-dire que l'on ait à la fois

ou encore

Ç<CM, Ç<Cm.

Donc, il faut et il suffît que le point G soit à la fois au-dessous des deux centres de courbure principaux Met m relatifs au point G, c'est-à-dire au-dessous du petit métacentre m.

L'expression de GH montre que, si G est au-dessus du grand métacentre, la valeur GG de GH correspondant à x = y == o est un maximum. Si G est placé entre les deux métacentres M et m, la normale GG n'est ni un maximum ni un minimum, car dans

l'expression de GH les coefficients de x2 et y2 sont de signes contraires.

Résumé. — Pour obtenir les positions d'équilibre d'un corps pesant reposant par une surface (C) sur un plan horizontal fixe, il faut mener du centre de gravité des normales à la surface (G); soient GC<, GG2, . . • ces normales. A chacune d'elles GG répond une position d'équilibre obtenue en mettant le corps en contact avec le plan horizontal par le point G; pour que cette position soit stable, il faut et il suffit que, dans cette position, G soit audessous du petit métacentre relatif au point de contact C.

Remarque. — Dans cette théorie, on peut supposer indifféremment le point G à l'extérieur ou à l'intérieur de la surface (G),

à condition de donner un signe à GH, comme nous l'avons fait. Mais, si cela paraît plus simple, on peut toujours remplacer la surface (C) par une autre contenant le point G à son intérieur.

En effet, construisons une surface (G,) parallèle à (G), obtenue en portant sur les normales extérieures à (C) une longueur constante l. Pendant que (C) reste en contact avec un plan horizontal fixe P, (G,) reste en contact avec un plan horizontal fixe V{ placé à une distance / au-dessous de P, et réciproquement. On peut donc regarder le corps comme assujetti à reposer sur un plan horizontal fixe V{ par la surface (Ci) : et l'on peut toujours prendre / assez grand pour que G soit à l'intérieur de (G1 ).

Théorème. — La recherche des positions d'équilibre stable peut se ramener à la recherche des plus courtes distances du point G à la surface (C).

Nous venons de voir qu'on obtient les positions d'équilibre stable du corps en cherchant les points où le plan tangent à la surface (G) est à une distance minimum du centre de gravité. On

'Jtû8 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

peut remplacer ce problème par un autre quelquefois plus simple et chercher les points de la surface (C) tels que leur distance au centre de gravité soit un minimum. En effet, pour montrer que ces deux problèmes sont équivalents, remarquons d'abord que, pour que la distance GG du point G à un point G de la surface soit un minimum ou un maximum, il faut que GG soit normal en G. Supposons cette condition remplie et prenons les mêmes axes que plus haut; il faut montrer {fi g- 32 1) que si GG est un maximum ou un

minimum du segment GH, la valeur absolue de GG est aussi un maximum ou un minimum de la distance GC; et réciproquement. Or on a

remplaçons z par son développement (i) et ordonnons GG par rapport aux puissances de x et y en nous bornant aux termes du deuxième ordre. Nous avons

GG72 ^ - ¥ -h r0 W ^ - 0 + 'o/2 ('-f - tfy+- • • • •

Comme r0 et t0 sont positifs, cette fonction est maximum ou minimum pour x — o, y = o, aux mêmes conditions que la fonction GH définie par l'équation (2). C'est ce que nous voulions montrer (Poincaré, Cinématique et Mécanismes, etc., p. 298 et suivantes).

Représentation des diverses positions d'équilibre. — Nous empruntons à M. Gujou {Théorie du Navire, 2e édition, p. 21), la représentation suivante des diverses positions d'équilibre, représentation qui a été employée pour la première fois par Reech {Journal de V Ecole Polytechnique, 1808).

Imaginons une sphère liquide avant pour centre le point G que nous supposerons intérieur à la surface du solide considéré; et concevons que cette sphère, ayant d'abord un rayon assez grand pour que la surface entière soit immergée, vienne à s'assécher progressivement. Il arrivera un premier instant où la sphère deviendra tangente à la surface; au point de contact correspondra évidemment une normale maximum abaissée du point G et, d'après ce qu'on vient de voir, pour l'orientation correspondant à cette normale, le point G sera au-dessus du grand métacentre; la